Grao en Matemáticas

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Desigualdades en Problemas de Olimpiadas
(2025-09) Vázquez Zavalza, Julio; Universidade de Santiago de Compostela. Departamento de Álxebra; Gago Couso, Felipe
O obxectivo principal deste traballo será presentar as diferentes desigualdades matemáticas empregadas para resolver moitos dos problemas propostos nas distintas competicións de Olimpiadas Matemáticas, desde o nivel local ou autonómico até o internacional e a relativamente nova EGMO, a nivel feminino. Ademáis, recóllese unha escolma de problemas resoltos mediante o uso de unha ou varias destas desigualdades, facendo notar a potencia que teñen para aproximar ou resolver cada problema. Deste xeito, o traballo está divido en 3 capítulos. O primeiro deles é a introducción e caracaterísticas das diferentes competicións olímpicas. No segundo pasamos a de nir e demostrar as desigualdades máis importantes e empregadas: a desigualdade triangular, a desigualdade das medias, desigualdades de reordenación entre as que atopamos Cauchy-Schwarz, Chebyshev ou Nesbitt , a desigualdade de Holder, a de Minkowski, a importante desigualdade de Jensen para funcións convexas, o teorema de Muirhead e as desigualdades de Schur e de Erdos-Mordell. Unha vez familiarizados con elas, damos unha serie de problemas de cada competición. Na última sección veñen as solucións a cada problema. Moitas veces as solucións non son únicas, ou non están todas incluídas; pero sempre se trata de resaltar a utilización das devanditas desigualdades
Curvas elípticas y aplicaciones en criptografía
(2025-06) Carrera Alonso, Xiana; Universidade de Santiago de Compostela. Departamento de Álxebra; Alonso Tarrío, Leovigildo
El objetivo de este trabajo es ofrecer un estudio exhaustivo sobre las curvas elípticas, un caso particular de curvas algebraicas que ha ocupado un lugar destacado en diversas ramas de las matemáticas, como la geometría algebraica y la teoría de números, y que ha encontrado importantes aplicaciones en la criptografía moderna. Con el fin de ofrecer un análisis detallado tanto de los aspectos teóricos como de sus aplicaciones, el trabajo comienza introduciendo conceptos y resultados de geometría algebraica que constituyen el marco fundamental para el desarrollo posterior. A continuación, se presenta tanto la definición formal de curva elíptica como su clasificación en función del invariante 𝑗. Tras abordar una de sus más importantes características, su estructura de grupo, se examinan las propiedades teóricas de las curvas elípticas en cuerpos finitos, que son el objeto de interés para la parte final, en la que se explora su uso práctico en la criptografía.
Curvas algebraicas y singularidades
(2025-07) Muíños Míguez, Diego; Universidade de Santiago de Compostela. Departamento de Álxebra; Alonso Tarrío, Leovigildo
Un trabajo de investigación centrado en las curvas algebraicas se puede entender como el primer paso a dar para adentrarse en el contexto de las variedades. El enfoque geométrico desde el que se examinan constituye una importante motivación de ciertos fundamentos y teoremas del Álgebra conmutativa. Mediante el conocimiento obtenido en cursos elementales de teoría de anillos y de teoría de números, se pueden establecer desde cero las bases de la Geometría algebraica. Una vez expuestas las nociones de variedades a nes y proyectivas, es habitual introducir el concepto de punto singular. La idea clave para su estudio es preguntarse qué anillos nos dan información local de las curvas y, avanzando en el sentido de la cuestión anterior, si sería posible llegar a ejemplos de curvas sencillas que preserven las propiedades de otras más complejas.
Cuadratura de alta precisión
(2025-07) Couselo Silveira, Juan; Universidade de Santiago de Compostela. Departamento de Matemática Aplicada; López Couso, Óscar
Neste traballo abordamos o estudo de métodos numéricos para o cálculo aproximado da integral definida a través de fórmulas de cuadratura, técnicas fundamentais cando descoñecemos o valor da integral. Centrámonos nas fórmulas de tipo interpolatorio polinómico que aproximan o valor real a partir da integral dun polinomio de interpolación. Estudamos en profundidade tres métodos principais de cuadratura. Primeiro as fórmulas de Gauss, caracterizadas pola súa alta precisión empregando poucos nodos. Despois, estudamos o método de Romberg, que combina a regra do trapecio composta coa extrapolación de Richardson. E por último, o uso de correccións extremais para as regras de trapecio e Simpson compostas. Para cada método exploraremos a súa formulación teórica, o comportamento do erro e os requisitos para a exactitude dos métodos. Ademais, aportaremos exemplos e táboas nas que representen a variación do erro para cada método.
Teoría de índice de punto fijo y aplicaciones a las ecuaciones diferenciales
(2025) Méndez Álvarez, Victoria Leonor; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Fernández Tojo, Fernando Adrián
La teoría de índice de punto fijo es una herramienta valiosa por su utilidad en múltiples ramas de las matemáticas y por sus numerosas aplicaciones a la economía, la teoría de juegos o el análisis. En este trabajo, recogemos los principales conceptos relativos a esta teoría desde un enfoque principalmente analítico, sin olvidar su estrecha relación con la topología y la geometría diferencial. Primero daremos una definición del grado topológico o grado de Brouwer para funciones continuas en dimensión finita, lo que nos permitirá desarrollar propiedades interesantes de esta teoría, y en particular, demostrar el Teorema de punto fijo de Brouwer. Posteriormente, extenderemos estos conceptos a dimensión infinita con el Teorema de Leray-Schauder. Buscaremos dar sentido práctico a los resultados presentados, analizando algunas de sus aplicaciones en el estudio de las soluciones de ecuaciones diferenciales. Finalmente, estudiaremos una extensión del grado a operadores definidos sobre conos, y presentaremos un ejemplo concreto de aplicación: el análisis de un reactor tubular.
Teoría de sub y sobre soluciones aplicada a las ecuaciones diferenciales ordinarias
(2025-06) Lamas Rodríguez, Ana; Cabada Fernández, Alberto
El método de sub y sobresoluciones ha sido objeto de estudio desde la última década del siglo XIX, debido a su eficacia en el análisis de ecuaciones diferenciales no lineales. Este enfoque permite establecer la existencia de soluciones sin necesidad de resolver explícitamente el problema. En este trabajo se presenta, en primer lugar, la aplicación del método de sub y sobresoluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con condiciones de periodicidad. Se demuestran distintos resultados de existencia de solución, que, además, garantizan que dicha solución o soluciones están entre la sub y sobresolución. Posteriormente, se expone el método monótono, una técnica constructiva basada en funciones de Green y en la elección adecuada de un par de sub y sobresoluciones. A diferencia del caso anterior, este método se aplica a ecuaciones diferenciales ordinarias de orden arbitrario y bajo condiciones de contorno generales, no necesariamente periódicas. El procedimiento genera sucesiones monótonas, dadas como las únicas soluciones de correspondientes problemas lineales asociados, que convergen hacia las soluciones extremales localizadas entre la sub y la sobresolución, del problema no lineal estudiado.
Control óptimo de sistemas discretos e ecuacións diferenciais ordinarias
(2025-07) Rodríguez Caridad, David; Rodríguez García, Jerónimo
Neste traballo estudaranse os problemas de control óptimo sen restricións, tanto no caso discreto coma no continuo. O primeiro que se buscará nestes problemas será, proporcionar métodos que permitan o cálculo do gradiente do funcional custo, ˜ J, no caso discreto. Estes particularizaranse no caso onde o problema sexa evolutivo, aproveitando esta estrutura para reducir o custo computacional. No caso continuo consideraranse problemas onde o estado veña dado por unha EDO. A forma na que se abordarán estes problemas consistirá en: discretizar o problema de maneira que entre no marco das seccións anteriores, ou calcular as derivadas direccionais de ˜ J, mediante métodos que se proporcionarán neste traballo, permitindo así o cálculo do gradiente ao aproximar o espazo de control por un de dimensión finita. Os métodos do caso discreto empregaranse para resolver problemas de estimación de parámetros, mentres que os do caso continuo resolverán un problema relacionado co movemento dun sistema carro-péndulo.
Contrastes de bondad de ajuste
(2025-07) Argibay Alló, Emilio; Rodríguez Casal, Alberto; Rodríguez Casal, Alberto
El desarrollo de este trabajo se centra en el estudio teórico y práctico del test ji−cuadrado, el cual se utiliza para contrastar cierta hipótesis sobre una muestra de datos. Se presenta, en primer lugar, el contexto histórico del test, incluyendo su origen y evolución. En el estudio teórico, se formaliza el test, con la definición de su respectivo estadístico de contraste y con los principales resultados relacionados con el mismo, incluyendo aquellos sobre la convergencia asintótica del estadístico. Se diferencian el caso en el que la hipótesis nula es simple y el caso en el que se trata de una familia paramétrica. En el ámbito práctico, se realizan simulaciones del test en sus distintos casos mediante la herramienta R, con la finalidad de analizar y caracterizar su comportamiento real. Se estudian el calibrado del test (casos en los que se cumple la hipótesis nula) y su potencia (casos en los que no se cumple la hipótesis nula). También se ponen a prueba ciertas recomendaciones prácticas mencionadas durante el grado.
Categorías (finitamente) universales
(2025-07) Lugaresi Palomares, Daniel; Universidade de Santiago de Compostela. Departamento de Álxebra; Costoya Ramos, María Cristina
Un dos problemas clásicos que impulsou importantes avances en álxebra é o Problema Inverso de Galois, proposto por Hilbert en 1892. Inspirado por este problema e seguindo unha lóxica semellante, xorde a comezos do século XX o problema de realización de grupos, que formula unha cuestión aparentemente sinxela: dada unha categoría C e un grupo G, existe algún obxecto de C cuxo grupo de automorfismos sexa isomorfo a G? Cando isto ocorre para todo grupo (finito), dise que a categoría é (finitamente) universal. Un dos primeiros avances neste ámbito débese a R. Frucht, quen en 1939 demostrou que a categoría dos grafos simples finitos é finitamente universal. Dende entón, o problema foi estudado en diversas categorías e continúa a ser, a día de hoxe, un tema de interese na investigación en álxebra. O obxectivo deste traballo é introducir o problema de realización de grupos, presentar as ferramentas máis relevantes para o seu estudo e aplicar estas técnicas para abordar, por primeira vez na literatura, a universalidade finita da categoría dos aneis de fusión, estruturas alxébricas que xorden de forma natural tanto en álxebra como en certos contextos da física teórica dentro do marco actual de investigación
Bases de Schauder en espacios de Banach
(2025-07) Rodríguez Rodríguez, Iker; Universidade de Santiago de Compostela. Departamento de Análise Matemática; Losada Rodríguez, Jorge
Neste Traballo Fin de Grao estudarase o concepto de base de Schauder dun espazo de Banach, ferramenta similar ás bases de Hilbert dun espazo de Hilbert e o análogo ao caso de dimensión infinita das bases de Hamel dun espazo vectorial de dimensión finita. Para iso, teremos que estudar, comprender e asimilar diversos resultados de análise funcional directamente relacionados coa noción de converxencia.
Computación cuántica. Principios matemáticos y aplicaciones
(2025-07) Chavert Sancho, Alfredo; Fernández Fernández, Francisco Javier
Este trabajo estudia las bases de la Computación Cuántica de forma íntegramente matemática, abstrayéndose de los sistemas físicos reales detrás de esta idealización. En primer lugar, se estudian los fundamentos de la Mecánica Cuántica, explorando conceptos y propiedades de los espacios de Hilbert sobre el cuerpo de los números complejos. A continuación, se definen los conceptos de cúbit y p-cúbit, así como las puertas lógicas cuánticas que actúan sobre ellos. Por último, se desarrollará una serie de algoritmos importantes con aplicaciones concretas que demuestran el interés por este tipo de lógica. El objetivo del trabajo es ser una introducción, desde los conceptos trabajados en el Grado de Matemáticas, al mundo de la Computación Cuántica sin requerir conocimientos previos sobre Física, de forma que dé un acceso más sencillo al entendimiento de algoritmos cuánticos o a su desarrollo.
Comparativa entre metodoloxías clásicas e de aprendizaxe automática na análise de series temporais
(2025-06) Figueroa Martínez, Antón; Pateiro López, Beatriz
Ao considerar un conxunto de datos, podemos atoparnos con observacións independentes ou con observacións que presenten algún tipo de dependencia espacial ou temporal, como é o caso das series temporais. Ao ter en conta esta dependencia, xorde naturalmente a teoría estatística da análise de series temporais, na que nos adentramos nas seguintes páxinas. O obxectivo deste traballo é a descrición e comparación dos diferentes modelos e metodoloxías de análise de series temporais. Partindo desta base, comparáronse en canto a rendemento, sinxeleza, interpretabilidade e eficiencia computacional, chegando á conclusión de que os modelos máis axeitados varían en cada caso.
Clustering basado en modelos
(2025-07) Gómez Sánchez del Valle, Nuria; Ameijeiras Alonso, José
El clustering es una técnica estadística no supervisada que busca identificar automáticamente grupos homogéneos de observaciones dentro de un conjunto de datos. Su utilidad se ha consolidado en múltiples disciplinas, especialmente en el contexto actual de generación masiva de datos, gracias a su capacidad para identificar grupos en datos complejos y de alta dimensión. Aunque tradicionalmente se han utilizado métodos heurísticos como k-medias o técnicas jerárquicas, estos enfoques presentan limitaciones, como la falta de una base teórica sólida o la dificultad para determinar el número óptimo de grupos. En contraste, el clustering basado en modelos (Model-Based Clustering, MBC) ofrece una alternativa estadísticamente fundamentada al modelar los datos como una mixtura finita de distribuciones de probabilidad. Este enfoque permite realizar inferencias rigurosas, seleccionar modelos apropiados, elegir el número de grupos de manera justificada y evaluar la incertidumbre en la asignación de observaciones. En este trabajo, se presentan los fundamentos teóricos del clustering basado en modelos, con un enfoque en los modelos de distribuciones gaussianas, que son los más utilizados, así como el algoritmo EM para la estimación de parámetros y criterios de selección de modelos, incluyendo la elección del número de clústeres. Además, se presentan ejemplos prácticos utilizando el paquete mclust en R.
Centros nilpotentes en sistemas polinomiais
(2025-07) Iglesias Varela, Antonio; Otero Espinar, María Victoria
Neste traballo de fin de grao, enmarcado na área de coñecemento da Análise Matemática, abórdase o problema aberto da caracterización de centros globais en sistemas dinámicos polinomiais. Tras unha recopilación de resultados básicos da análise cualitativa de ecuacións diferenciais introdúcese o concepto de centro local e global, clasificándoos en función do seu sistema linearizado. Dado que o problema é moi amplo, centrouse o estudo na busca de centros nilpotentes en sistemas homoxéneos de grao 5 que presentasen certas propiedades de simetría. Tamén se consideraron sistemas hamiltonianos. Comprobar o carácter global dos centros require coñecer o comportamento das órbitas no infinito do plano euclídeo. Para afrontalo recórrese á compactificación de Poincaré, que proxecta o campo definido en R2 nunha esfera e permite identificar os puntos no infinito coa liña do ecuador. Finalmente, para comprender a estrutura local dalgunhas singularidades, utilizáronse as denominadas transformacións blow up, que expanden o punto singular ao longo dunha recta e facilitan o seu estudo.
Aspectos matemáticos del Concept Drift
(2025-06) Fraile Mulas, Fernando; Universidade de Santiago de Compostela. Departamento de Estatística e Investigación Operativa; Crujeiras Casais, Rosa María
El procesamiento de datos en línea surge de la creciente necesidad de analizar y manipular grandes volúmenes de flujos de datos en tiempo real, que superan las capacidades del procesamiento de datos tradicional. En estos entornos dinámicamente cambiantes y no estacionarios, se produce el denominado Concept Drift, referido al cambio en la relación entre los datos de entrada y la salida (variable objetivo) a lo largo del tiempo, lo que obliga a los modelos predictivos a adaptarse a esta situación, aunque en algunos casos el cambio puede afectar únicamente a la relación entre las propias variables de entrada. En este TFG se abordarán diversos aspectos matemáticos necesarios para comprender y modelar este fenómeno: modelos de probabilidad, distribuciones para técnicas de detección de cambios, contrastes de hipótesis, inferencia no paramétrica, etc. Se analizarán distintas formas de abordar el fenómeno y cómo tratar este problema. Además, los contenidos teóricos irán acompañados de ilustraciones prácticas con datos reales y/o simulados. Este trabajo se desarrolla de forma complementaria a otro TFG del Grado en Ingeniería Informática, centrado en la revisión y evaluación de varios algoritmos presentes en la literatura para la detección de Concept Drift. Ambos estudios comparten una base experimental común, y la comparativa realizada en el trabajo informático se incluye en el desarrollo del presente estudio.
Aspectos computacionales de los contrastes de bondad de ajuste para modelos de regresión lineales
(2025-07) Fernández Fernández, Guillermo; Universidade de Santiago de Compostela. Departamento de Matemáticas; Conde Amboage, Mercedes
Los modelos de regresión en media son una herramienta de gran interés en el ámbito de la Estadística, ya que permiten establecer la relación de dependencia entre una variable de interés (que habitualmente se conoce como variable respuesta) y una o varias variables explicativas. Los modelos clásicos de regresión asumen que la relación entre las variables explicativas y la variable respuesta se puede establecer a través de efectos lineales, surgiendo así los modelos de regresión lineales múltiples. A lo largo de este TFG, trataremos de presentar contrastes de hipótesis que nos permitan testear si realmente el efecto de las variables explicativas sobre la variable respuesta es o no lineal. Para llevar a cabo dichos contrastes emplearemos la función de regresión integrada introducida por Stute (1997). A modo de orientación, el trabajo podría organizarse en las siguientes secciones: • Los modelos de regresión lineales múltiples. • Presentación del contraste de bondad de ajuste para modelos de regresión lineales. • El calibrado del contraste de bondad de ajuste. • Implementación del contraste de bondad de ajuste, junto con el plan de remuestreo. Para ello utilizaremos el software estadístico libre R (https://www.r-project.org/). Además, ilustramos el buen comportamiento en la práctica del contraste de bondad de ajuste introducido, utilizando tanto conjuntos de datos reales como datos simulados.
Teoría de juegos y logística en el sector pesquero
(2025-01) Fernández Garrote, Uxía; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Casas Méndez, Balbina
La teoría de juegos es una disciplina matemática que estudia problemas de decisión que involucran a varios agentes. Distinguimos juegos cooperativos y no cooperativos, los cuales se diferencian en la existencia o no de mecanismos para establecer acuerdos vinculantes. Dos conceptos básicos son el valor de Shapley y el equilibrio perfecto en subjuegos, tomados de los juegos cooperativos con utilidad transferible y los juegos en forma extensiva. En este trabajo utilizaremos las herramientas mencionadas anteriormente para comprender y explicar una investigación reciente en el ámbito de los dispositivos de concentración de peces. Esto ha conducido a la posibilidad de un incremento en los beneficios de las firmas pesqueras y paralelamente a una contribución beneficiosa para el medio ambiente en términos de la reducción del consumo de carburante y así de las emisiones de CO2. Junto con las consideraciones teóricas se pretende mostrar un análisis empírico de este problema.
Topología de la evolución de los virus
(2025-02) Quintela Tizón, Lurdes María; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Gómez Tato, Antonio
En las últimas décadas se han desarrollado herramientas topológicas para el análisis de datos en distintas áreas. En este trabajo se explicarán la homología simplicial y la homología persistente, y su aplicación en la biología como método para estudiar y predecir la evolución de los virus, no muy conocida ni controlada. Particularmente, nos centraremos en el virus de la gripe (Influenza A) y en el Virus de la Inmunodeficiencia Humana (VIH), tanto por su prevalencia y mortalidad provocada en humanos, como por la disposición de sus datos e idoneidad con los métodos topológicos expuestos para su estudio.
Un recorrido por el último teorema de Fermat
(2025-06) López Román, Lucas; Rivero Salgado, Óscar
Este trabajo realiza una aproximación a algunas de las ideas que se desarrollaron durante la exploración y posterior demostración del último teorema de Fermat. Comenzando por los casos n =3 y n=4, se trabajarán algunos aspectos relativos a la aritmética de los cuerpos de números. La parte central de la memoria se dedica al estudio de la demostración del teorema de Fermat para primos regulares. Finalmente, realizamos un breve acercamiento a algunas de las ideas desarrolladas en el S.XX en torno al concepto de modularidad, que permitirían la demostración del resultado realizada por Andrew Wiles en los años 90.
Unha introdución á análise de datos circulares
(2025-06) Álvarez Lorenzo, Sara; Crujeiras Casais, Rosa María
Os datos circulares son observacións que se identifican como puntos ou vectores na circunferencia do círculo unidade. Neste Traballo de Fin de Grao consideraremos ferramentas clásicas para a análise descritiva de mostras de datos circulares, introduciremos algúns modelos destacados de distribución e presentaremos algúns procedementos inferenciais para este tipo de observacións, entre eles contrastes (uniformidade, bondade de axuste) e estimacións. Os distintos instrumentos estatísticos serán ilustrados con datos simulados e reais, empregando o software . O traballo organízase en tres capítulos diferenciados. No primeiro deles, exporemos medidas descritivas para mostras circulares (medidas de posición, de dispersión e representacións gráficas); no segundo repararemos nas distribución circulares máis prominentes e nos métodos dos que dimanan; e no derradeiro capítulo, centrarémonos en coñecer e manexar os útiles que a estatística inferencial pon a nosa disposición.

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