Grao en Matemáticas

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La optimización matemática en la gestión de recursos
(2024-06) Pensado Tasende, Tania; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Saavedra Nieves, Alejandro
En la actualidad, la optimización matemática se ha convertido en una herramienta clave para la gestión eficiente de recursos en diversas áreas, como la publicidad, la investigación en laboratorios y la gestión de emergencias, incluyendo los incendios forestales. La asignación óptima de recursos no solo maximiza los beneficios económicos, sino que también reduce los costes y el tiempo necesario para completar las tareas. Este Trabajo de Fin de Grado (TFG) se centra en la aplicación de técnicas de programación matemática, especialmente la programación lineal y la programación entera, para resolver problemas prácticos relacionados con la distribución y asignación de recursos.
La ecuación de Liénard
(2024-07) Pérez Armesto, María; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Rodríguez López, Rosana
La ecuación de Liénard generaliza la ecuación del oscilador armónico lineal y permite modelar de manera adecuada algunos sistemas de ecuaciones diferenciales planos donde existe un movimiento periódico. En este trabajo, tras dar unas nociones previas sobre análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales, estudiaremos el Teorema de Liénard, que garantiza la existencia y unicidad de ciclo límite para ciertos sistemas asociados a la ecuación de Liénard. Además, expondremos en profundidad dos ejemplos, correspondientes al área de la electrónica (el oscilador de Van der Pol) y a la biología (el modelo del latido del corazón de Zeeman), que siguen esta estructura. Finalmente, daremos otros dos resultados teóricos de aplicación para otras ecuaciones que resultan de generalizar, aún más, la ecuación de Liénard introduciendo coeficientes no lineales que combinan tanto la variable dependiente y su derivada, con sus respectivos ejemplos.
Introducción a las leyes de conservación y a su resolución numérica
(2024-07) Pita-da-Veiga Ramonde, Ángel; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Rodríguez García, Jerónimo
La modelización matemática con leyes de conservación describe el comportamiento de un sistema teniendo en cuenta la conservación de alguna magnitud, como la masa, la energía o el momento. Estos modelos se utilizan en campos como la física, la ingeniería y la ciencia ambiental para comprender y predecir el comportamiento de sistemas complejos, desde la dinámica de fluidos y el flujo de tráfico hasta las reacciones químicas y las interacciones ecológicas. En este trabajo se estudiarán en primer lugar las propiedades analíticas más importantes de los sistemas de leyes de conservación, viendo los conceptos de solución clásica, solución débil, condiciones de entropía y el problema de Riemann. Puesto que, en general, no es posible obtener la solución exacta de las leyes de conservación, posteriormente, teniendo en cuenta las características y dificultades encontradas, se diseñarán métodos numéricos para aproximar numéricamente las soluciones de estos sistemas. Se hará especial énfasis en el método de Godunov, cuya deducción matemática es consecuencia directa de las propiedades fundamentales de las leyes de conservación. Finalmente, se aportan códigos MATLAB que implementan los métodos descritos.
Métodos de clasificación e ensamblado de clasificadores en aprendizaxe supervisada
(2024-07) Gómez López, Antón; Pateiro López, Beatriz
Neste traballo analízanse diversas técnicas de ensamblado en aprendizaxe supervisada, enfocándose en bagging, bosques aleatorios e adaBoost. Inicialmente, explícanse os fundamentos da clasificación estatística e da aprendizaxe supervisada. Seguidamente, examínanse as diferentes estratexias para combinar saídas de clasificadores cando estas consisten en predicións e valores continuos. Finalmente, detállanse os métodos de ensamblado, subliñando as características que os diferencian
Una introducción a los modelos aditivos generalizados
(2024-07) García Ponte, Mariña; Crujeiras Casais, Rosa María
Los modelos aditivos generalizados representan una herramienta muy útil en el análisis de datos debido a su flexibilidad y capacidad para modelar relaciones no lineales entre variables. En este trabajo, se llevará a cabo una revisión de los modelos de regresión lineales y lineales generalizados, exponiendo sus limitaciones y la necesidad de emplear métodos más flexibles, como los modelos aditivos generalizados. Estos modelos introducen funciones suaves para modelar las relaciones entre la variable respuesta y las variables explicativas. Se presentará su formulación teórica y se examinarán los principales métodos de estimación mediante splines. Los modelos introducidos, así como sus limitaciones, serán ilustrados a través de simulaciones. Finalmente, se presentará una aplicación del modelo aditivo generalizado a una base de datos reales. Este ejemplo permitirá ilustrar sus ventajas en un contexto real, donde la capacidad de adaptación a patrones no lineales es esencial para obtener resultados precisos y útiles.
Existencia de soluciones periódicas de la ecuación de Mathieu
(2024-07) Pita Vilariño, Eliseo; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Cabada Fernández, Alberto
En este trabajo, se estudiará la existencia de soluciones periódicas de la ecuación de Mathieu, un caso particular de la ecuación de Hill. Para introducir esta ecuación, se presentará brevemente cómo esta modela el comportamiento de un haz de electrones guiado por un campo magnético periódico axialmente simétrico, un fenómeno relevante en diversos dispositivos electrónicos. A continuación, se abordará el concepto de la ecuación de Hill, estudiando el comportamiento de sus soluciones en función del potencial periódico que la define, y se introducirá la función de Green asociada. Posteriormente, aplicando condiciones de contorno periódicas, se obtendrán resultados que permitan analizar el signo de la función de Green en base al potencial asociado. Finalmente, se demostrará la existencia de soluciones periódicas de signo constante para la ecuación de Mathieu
La geometría diferencial de las superficies regladas y su aplicación en la arquitectura
(2024-07) Posada Soto, Blanca María; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Vázquez Abal, María Elena
Una superficie se dice que es reglada si por todos sus puntos pasa al menos una recta que esté contenida en ella. El objetivo de este trabajo es el estudio de este tipo de superficies y sus propiedades dentro de la teoría de la geometría diferencial. Además, veremos una clase particular de superficies regladas cuya curvatura es nula, las llamadas superficies desarrollables. Por último, examinaremos su aplicación en la arquitectura, centrándonos en el análisis de la obra de los maestros Antoni Gaudí, Félix Candela, Santiago Calatrava y Frank Gehry.
O cálculo de variacións e as súas aplicacións
(2024-07) Puente Rodríguez, Helena; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Cabada Fernández, Alberto
Ao longo deste traballo faremos unha introducción aos conceptos fundamentais do cálculo de variacións. Comezaremos por expoñer os exemplos clásicos que fomentaron o desenvolvemento posterior, que nos levará ao resultado clave da materia, a ecuación de Euler-Lagrange. Veremos algúns exemplos concretos e a súa resolución, así como posibles xeralizacións a funcionais con derivadas superiores e funcións de n variables. Posteriormente tamén se tratarán aplicacións a problemas reais que xorden na física ou na enxeñaría.
Análisis estadístico exploratorio de datos complejos
(2024-09) Quiroga Doama, Ariadna; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; González Manteiga, Wenceslao
El principal objetivo de este trabajo es desarrollar técnicas estadísticas exploratorias, centrándose en el análisis de objetos estadísticos diversos. En el primer capítulo se presentan los conceptos básicos de ADOO y su terminología. En el segundo, se explican diversas técnicas de análisis descriptivo exploratorio, aplicados a datos complejos. El Análisis de Componentes Principales y su aplicación a la visualización se presenta en el capítulo tercero. En los capítulos cuarto y quinto se tratan técnicas de clasificación supervisada y no supervisada, respectivamente. En el último capítulo se introduce un problema de datos reales en el que se aplican algunas de las técnicas vistas anteriormente.
Un enfoque constructivo del problema inverso de Galois
(2024-07) Quiroga Gutiérrez, David; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Ladra González, Manuel
O problema inverso de Galois expón a enigmática cuestión de se para calquera grupo finito G, existe un polinomio cuxo grupo de Galois sobre o corpo dos números racionais é G. Este problema, exposto por primeira vez no século XIX, segue sen resolverse, e é parte da motivación deste traballo. Outro acicate é enfocalo desde o punto de vista construtivo e computacional, é dicir, atopar polinomios cuxo grupo de Galois sexa un grupo dado.
Tranformadas integrais
(2024-07) Raposeiras Mariño, Sara; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; López Somoza, Lucía
Este traballo céntrase no estudo das transformadas de Laplace e Fourier, destacando a súa importancia na resolución de ecuacións diferenciais. Defínense ambas transformadas e as súas respectivas inversas, e analízanse as súas propiedades principais, incluíndo a súa relación co produto de convolución. Inclúense exemplos prácticos que amosan a súa utilidade na resolución tanto de ecuacións diferenciais ordinarias como de ecuacións en derivadas parciais, ilustrando a súa aplicabilidade en problemas reais.
Sumas de cuadrados y formas modulares
(2024-07) Regueiro García, Juan Carlos; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Cao Labora, Daniel
El objetivo de este Trabajo Fin de Grado es responder a algunas de las preguntas clásicas de la teoría de números, como qué enteros positivos se pueden escribir como la suma de dos cuadrados o si todo entero positivo se puede expresar como la suma de cuatro cuadrados. Estas preguntas se afrontan desde el punto de vista del análisis complejo utilizando la teoría de formas modulares. Estas son funciones definidas en el semiplano superior que admiten diferentes simetrías. En concreto, se emplea la función theta de Jacobi. Primero, se introducen definiciones que resultan de interés para la comprensión de los argumentos posteriores y una serie de resultados que se van a utilizar en las demostraciones presentadas al dar respuesta a las cuestiones. Luego, se define la función theta de Jacobi y se recogen algunas propiedades de esta que serán de interés en el desarrollo de las respuestas a las preguntas. A continuación, se desarrollan las demostraciones de los teoremas de los dos, los cuatro y los ocho cuadrados de acuerdo con los enunciados propuestos por Jacobi, empleando la teoría de formas modulares y la función theta de Jacobi para probar la equivalencia de las propiedades estructurales de esta última con las de otras funciones definidas para demostrar los teoremas. Además, se presenta una idea de la demostración del teorema de los tres cuadrados, cuyo tratamiento es más complejo.
Introdución á programación multiobxectivo
(2024-07) Rial Fondo, Jorge; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; González Rueda, Ángel Manuel
A optimización multiobxectivo emprégase para atopar as mellores solucións factibles aos problemas de programación matemática que dispoñan de máis dunha función obxectivo. Partindo dun problema de minimización, no primeiro capítulo comezamos facendo unha introdución á optimización multiobxectivo, definindo o principal concepto de solucións neste contexto: os puntos óptimos de Pareto ou puntos eficientes. Ademais, presentamos resultados teóricos de caracterización e existencia de solucións neste tipo de problemas. Finalmente, explicamos en detalle unha serie de conceptos relacionados con puntos eficientes: puntos debilmente eficientes, estritamente eficientes e propiamente eficientes. No seguinte capítulo, describimos diferentes métodos para resolver un problema multiobxectivo xeral. Para cada un deles, aportamos varios resultados teóricos nos que se fundamentan para visualizar a súa utilidade ou a que tipo de problemas están dirixidos. Por último, á parte de ilustralos con algún exemplo, realizamos a implementación de cada un deles na linguaxe de programación R.
La función Zeta de Riemann
(2024-07) Rico Pose, Ian; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Cao Labora, Daniel
El objetivo principal de este trabajo es estudiar la función Zeta de Riemann en profundidad y analizar la hipótesis de Riemann. Para ello, se comienza presentando algunas nociones básicas del análisis complejo, que serán necesarias a lo largo del trabajo, junto a un estudio de la función Gamma de Euler, altamente relacionada con la función Zeta de Riemann. Posteriormente, se introduce la definición de la función Zeta de Riemann, así como sus propiedades fundamentales y ecuación funcional. También se examinan algunos valores concretos de la misma que son de interés, haciendo especial énfasis en sus ceros, y se muestran algunas de sus aplicaciones en otros campos, como la física cuántica o la lingüística. Finalmente, se enfoca el trabajo en la hipótesis de Riemann. En un primer lugar, se examina su contexto histórico, después se demuestra el teorema de los números primos utilizando la función Zeta de Riemann y para terminar se presentan ciertos aspectos asociados a la hipótesis. Estos aspectos serán algunas equivalencias o modificaciones de la hipótesis, sus posibles consecuencias y la evidencia que existe sobre esta hipótesis.
Xeometría global de curvas
(2024-06) Rodríguez Otero, Candela; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Domínguez Vázquez, Miguel
O obxectivo deste traballo é contextualizar, enunciar e demostrar algúns dos teoremas máis relevantes da teoría global de curvas planas desde a perspectiva da xeometría diferencial. Así, abordaremos o estudo da Umlaufsatz de Hopf, o teorema da curva pechada de Jordan, a desigualdade isoperimétrica, o teorema de Fenchel e o teorema dos catro vértices. Despois dunha breve introdución aos conceptos básicos da xeometría diferencial de curvas planas, presentaremos as ferramentas necesarias para o estudo de cada un dos resultados mencionados, para finalmente proporcionar unha proba de cada un deles. Tales probas serán eminentemente xeométricas, se ben en varios casos contarán cunha compoñente topolóxica e analítica importante.
Fórmulas de cuadratura
(2024-07) Rodríguez Sieira, Laura; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; López Pouso, Óscar
Neste traballo abordaremos o estudo de métodos numéricos para o cálculo aproximado da integral definida a través de diversas fórmulas de cuadratura. En primeiro lugar, falaremos das fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio polinómico (de tipo i.p.) e daremos unhas pinceladas comúns a todas elas. Estudaremos en profundidade dous casos importantes das fórmulas de tipo i.p.: as fórmulas de Newton-Cotes e as fórmulas de Gauss. Por último, estudaremos as fórmulas de cuadratura compostas, que tratan de obter mellores resultados. Veremos como obter os coeficientes de cada respectiva fórmula, e para as gaussianas tamén os nodos de cuadratura. En cada caso falaremos do erro de cuadratura e daremos algún que outro resultado acerca da converxencia.
Resolución numérica de problemas de fluxo de sangue nun conducto
(2024-07) Romero García, Brais; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Vázquez Cendón, María Elena
Propónse un método de volumes finitos completamente implícito para a simulación de fluxo de sangue 1D. Comezamos introducindo o concepto de sistemas de leis de conservación e os métodos de volumes finitos como unha ferramenta para achar solucións numéricas para este tipo de EDPs. Logo, presentamos o modelo de fluxo de sangue 1D que, para a súa posterior discretización, é dividido en tres subsistemas: un para os termos convectivos, un das variables difusivas e un para a presión. Estúdase un método semi-implícito de volumes finitos que resolve de maneira implícita as dúas últimas etapas e que discretiza explícitamente a etapa convectiva. Despois, propoñemos un novo esquema que toma un enfoque implícito para os termos convectivos usando un método de Newton inexacto combinado cun algoritmo BiCGSTAB. Para a discretización dos termos de fluxo, usamos as funcións de fluxo numérico de Rusanov ou Ducros. Finalmente, validamos o novo método mediante comparacións co esquema semi-implícito e solucións exactas a través serie de problemas de Riemann no contexto de simulación do fluxo de sangue.
El universo constructible de Gödel
(2024-07) Saborido Fernández, Pablo; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Fernández Tojo, Fernando Adrián
La mayoría de teorías matemáticas pueden formalizarse en el sistema ZFC, que es una teoría de la lógica de primer orden. El Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel nos impide demostrar su consistencia en la propia ZFC, pero no impone restricciones a las pruebas de consistencia relativa. Esto significa que, asumiendo que una teoría formal es consistente, sí podemos demostrar la consistencia de otra. En nuestro caso, asumiremos la consistencia de un subconjunto de los axiomas de ZFC, e iremos demostrando la cosistencia relativa de dicha teoría al añadirle los axiomas restantes. De hecho, también demostraremos la cosistencia relativa de ZFC con la Hipótesis del Continuo Generalizada. La herramienta fundamental en la obtención de estos resultados es la teoría de modelos, que formaliza el concepto intuitivo de interpretación de un lenguaje. En este contexto, el universo constructible de Gödel es una interpretación posible de la teoría de conjuntos ZFC.
Modelos de regresión para datos de recuento con ceros truncados, ceros inflados y ceros apartados
(2024-07) Saborido Muñiz, Martín; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Sánchez Sellero, César
En este trabajo se han estudiado los modelos de regresión en los cuales la variable respuesta es un recuento que presenta anomalías en el valor cero, ya sea por ausencia, defecto o exceso, que nos obligan a considerar otros tipos de distribuciones de recuento diferentes a la distribución de Poisson o la Binomial Negativa. Se han estudiado las distribuciones con ceros truncados, ceros inflados y ceros apartados, que proporcionan una manera de actuar ante esas anomalías, y se han construido modelos de regresión para variables de recuento que siguen una de esas distribuciones, ilustrando su aplicación con ejemplos.
Series de Fourier e resolución de ecuacións en derivadas parciais en dimensión superior
(2024) Gallagher Romero, Thomas; López Pouso, Rodrigo
Neste traballo ampliamos o estudado na materia Series de Fourier e Introdución ás EDPs sobre o uso das series de Fourier e o método de separación de variables para a resolución de problemas iniciais e de fronteira coas ecuacións da calor, de ondas e de Laplace. O obxectivo principal foi explorar máis profundamente os conceptos fundamentais e as técnicas avanzadas para a dedución e a resolución destes modelos matemáticos. Fixemos un enfoque particular nos métodos analíticos e numéricos que permiten abordar problemas en dimensións espaciais superiores, en particular dimensión dúas e dimensión tres. Para estas dimensións destacamos a importancia das condicións de contorno e das condicións iniciais na obtención das solucións. Empregamos o método de separación de variables e as series de Fourier como ferramentas cruciais para descompoñer e resolver estas ecuacións en distintos escenarios prácticos. Finalmente proporcionamos exemplos concretos e visualizacións gráficas das solucións obtidas a través de software especializado, en particular Matlab e Maple.

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