Existencia de soluciones periódicas de la ecuación de Mathieu

Abstract

En este trabajo, se estudiará la existencia de soluciones periódicas de la ecuación de Mathieu, un caso particular de la ecuación de Hill. Para introducir esta ecuación, se presentará brevemente cómo esta modela el comportamiento de un haz de electrones guiado por un campo magnético periódico axialmente simétrico, un fenómeno relevante en diversos dispositivos electrónicos. A continuación, se abordará el concepto de la ecuación de Hill, estudiando el comportamiento de sus soluciones en función del potencial periódico que la define, y se introducirá la función de Green asociada. Posteriormente, aplicando condiciones de contorno periódicas, se obtendrán resultados que permitan analizar el signo de la función de Green en base al potencial asociado. Finalmente, se demostrará la existencia de soluciones periódicas de signo constante para la ecuación de MathieuIn this work, the existence of periodic solutions of the Mathieu equation, a particular case of the Hill equation, will be studied. To introduce this equation, it will be briefly presented how it models the behavior of an electron beam guided by an axially symmetric periodic magnetic field, a phenomenon relevant in various electronic devices. Next, the concept of the Hill equation will be addressed, studying the behavior of its solutions based on the periodic potential that defines it, moreover the related Green’s function will be introduced. Subsequently, by applying periodic boundary conditions, some results will be obtained that allow to analyze the sign of the Green’s function based on the associated potential. Finally, the existence of periodic solutions of constant sign for the Mathieu equation will be proved.