Máster en Matemáticas

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Soluciones periódicas para ecuaciones diferenciales singulares
(2025-07) Pérez Armesto, María; Rodríguez López, Rosana
[ES] Las ecuaciones diferenciales singulares presentan algún término que, en algún punto de su dominio, tiende al infinito, lo cual ocurre habitualmente al tratar con problemas de electromagnetismo o mecánica. En este trabajo, tras exponer algunas técnicas útiles en el estudio de problemas de frontera periódicos, introduciremos el concepto de ecuación diferencial singular a través de ejemplos y comentaremos las dos clasificaciones de las singularidades más comunes en los textos. Posteriormente, aplicaremos las técnicas mencionadas para probar la existencia de solución periódica positiva para distintas familias de ecuaciones diferenciales singulares de segundo orden, distinguiendo entre aquellas sin rozamiento, esto es, en las que no interviene la derivada primera, de aquellas con rozamiento.
A función L p-ádica dunha forma modular
(2025-07) Polo Noche, Javier; Universidade de Santiago de Compostela. Departamento de Matemáticas; Rivero Salgado, Óscar
[GL] Este traballo céntrase na construción e estudo da función L p-ádica asociada a unha forma modular. Comézase introducindo algúns conceptos de formas modulares e símbolos modulares e as súas propiedades básicas. A continuación faise a construción da función L p-ádica, para a cal se introducen as funcións L e estúdanse algunhas das propiedades e conceptos relacionados, probando a alxebricidade dalgúns dos seus valores concretos e utilizando o teorema de control de Stevens (cuxa proba é abordada con posterioridade) para acabar por construír a función L p-ádica asociada a unha forma modular e probar a súa propiedade de interpolación, baixo certas hipóteses. A última parte céntrase en estudar o que acontece cando o peso da forma modular varía e analizando os casos crítico e Eisenstein.
Unha introdución á teoría de Iwasawa
(2025-07) Quintela Correa, Borja; Universidade de Santiago de Compostela. Departamento de Matemáticas; Rivero Salgado, Óscar
[GL] Este traballo pretende realizar unha introdución á teoría de Iwasawa, comezando polo estudo da estrutura dos módulos finitamente xerados sobre Zp[[T]], que se pode entender como unha xeneralización do teorema de clasificación de módulos sobre un dominio de ideais principais. Á súa vez, iso permítenos establecer o teorema de control de Iwasawa para o número de clases dos corpos ciclotómicos. Na segunda parte, presentamos resultados máis recentes que permiten entender mellor a estrutura alxébrica das Zp-extensións, formulando a conxectura principal de Iwasawa, que relaciona dita estrutura alxébrica cun obxecto puramente analítico, a función zeta p-ádica. Finalmente explicamos a estratexia xeral empregada na demostración dese resultado e acabamos ilustrando algunhas tendencias actuais de investigación no tema.
Métodos algebraicos y combinatorios en la robótica topológica
(2025-07) Méndez Vázquez, Ángel; Universidade de Santiago de Compostela. Departamento de Matemáticas; Gómez Tato, Antonio; Mosquera Lois, David
[ES] En este trabajo desarrollamos métodos algebraicos y combinatorios en la robótica topológica. Más en concreto, estudiamos invariantes homotópicos relacionados con el problema de planificación de movimientos, como la categoría de Lusternik-Schnirelmann o la complejidad topológica, a partir de una noción que los unifica: la distancia homotópica. Las técnicas que utilizamos combinan tanto herramientas clásicas de topología algebraica, como los grupos de homotopía o la (co)homología, así como recursos de topología combinatoria y computacional, gracias a los complejos simpliciales. Esto nos permite definir nuevos invariantes originales que mejoran estrictamente cotas y resultados existentes en la literatura, a la vez que diseñar algoritmos que, mediante la implementación de programas computacionales de cálculo simbólico, hallan estos invariantes para cualquier espacio triangulable.
O teorema de Krasnoselskii en espazos produto para sistemas de operadores e aplicacións
(2025-07) Fernández-Pardo, Laura M.; Universidade de Santiago de Compostela. Departamento de Estatística, Análise Matemática e Optimización; Rodríguez López, Jorge
[GL] A teoría do punto fixo consolidouse como unha rama das matemáticas con gran potencial para abordar unha ampla variedade de problemas en análise non lineal, especialmente na demostración da existencia, unicidade ou multiplicidade de solucións de ecuacións diferenciais e integrais. En concreto, o teorema do punto fixo de Krasnoselskii en conos de expansión-compresión foi empregado en numerosos traballos de investigación para obter solucións non triviais a este tipo de problemas. Co obxectivo de acadar resultados de existencia para sistemas de ecuacións diferenciais e integrais con todas as súas compoñentes non triviais, desenvolvéronse distintas versións deste resultado, adaptadas a operadores definidos en espazos produto. Neste traballo introducimos o índice de punto fixo, unha potente ferramenta coa que probaremos os resultados principais. Así mesmo, propoñemos unha nova versión vectorial do teorema de Krasnoselskii, na que as condicións sobre o operador se expresan en termos das normas dos espazos que compoñen o produto no que traballamos. Este resultado orixinal motivou pequenas melloras sobre versións previas, que tamén serán detalladas neste texto. Finalmente, aplicaremos de entre estes resultados os máis novidosos, establecendo condicións que garanten a existencia de solucións con compoñentes positivas en distintos sistemas de ecuacións diferenciais e integrais.
O método das rexións solución aplicado a sistemas con condicións non lineares
(2019-07) Tella Álvarez, Marcos; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Fernández Tojo, Fernando Adrián
[GL] O método das rexións solución pertence a unha serie de técnicas de resolución de problemas diferenciais consistentes en procurar solucións en zonas axeitadas do espazo de traballo. Comezaremos esta presentación introducindo os antecedentes ao método das rexións solución presentes na literatura, para así pór en contexto ao lector. Logo diso, faremos unha análise exhaustiva do funcionamento e as características de ditas rexións, observando as similitudes e diferenzas respecto dos métodos anteriores. Finalmente, concluiremos coa exposición dunha serie de resultados propios nos cales estudaremos a resolución de problemas diferenciais con condicións non lineares vía o método das rexións solución.
Soluciones de signo constante de problemas de cuarto orden
(2013-09) Fernández Gómez, Carlos; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Cabada Fernández, Alberto
Este Trabajo de Fin de Máster tiene como objetivo principal aunar resultados y métodos de trabajo estudiados en referencia a nuestro operador lineal, con la finalidad de poder presentar un estudio detallado de (1.1), que nos permita conocer mejor este operador, y poder aplicar una amplia variedad de herramientas para la resolución de ecuaciones diferenciales que se adapten a este caso particular.
Formas modulares e teoría de Hida
(2024-07) Omil Pazos, Lois; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Rivero Salgado, Óscar
O obxectivo deste traballo é estudar os resultados básicos de formas modulares, con especial énfase nas chamadas familias de Hida e nos fenómenos inherentes aos números p-ádicos. Traballaremos tanto os aspectos alxébricos da teoría como aqueles máis xeométricos, que están detrás dos últimos avances na área. Na primeira parte do traballo, o obxectivo é familiarizarse coas formas modulares, entender a estrutura alxébrica dos espazos correspondentes e motivar as súas aplicacións a problemas aritméticos. Na segunda parte, o prioritario é entender as bases da teoría de Hida desde o punto de vista alxébrico, seguindo os desenvolvementos de Hida e entendendo as demostracións dos resultados principais. Por último, segundo a evolución do traballo, poderiamos estudar tamén algúns aspectos xeométricos da teoría ou extensións da mesma a outros contextos menos coñecidos.
Módulos MCM y categoría de singularidades sobre anillos de Gorenstein
(2023-07) Carbajales Martínez, Eloy; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Alonso Tarrío, Leovigildo
En un anillo de Gorenstein la categoría de módulos maximales de Cohen-Macaulay posee una estructura de categoría exacta con las sucesiones exactas naturales que provienen de la categoría de módulos. Esta estructura verifica la condición de Frobenius: los objetos inyectivos coinciden con los proyectivos. Por esta razón, la correspondiente categoría estable es triangulada. El objetivo principal de este trabajo es probar el teorema de Buchweitz, que afirma que esta categoría triangulada coincide con la categoría de singularidades del anillo de partida. En el trabajo se hará una exposición detallada de los conceptos involucrados de modo que sean accesibles a alguien con conocimientos básicos de álgebra homológica.
Lie–Rinehart Algebras
(2013-07) García-Martínez, Xabier; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Ladra González, Manuel
In this thesis we collect the main definitions and results of Lie–Rinehart algebras and then we present our recent work on universal central extensions and a non-abelian tensor product of Lie–Rinehart algebras. We start with definitions, examples and some constructions. Then we see the relations between Lie–Rinehart algebras and Poisson algebras. We define the universal enveloping algebra and we explore some of its properties, giving a proof of the version of the PBW theorem in Lie–Rinehart algebras and we see that it has a left Hopf algebroid structure. We also define the Lie–Rinehart superalgebras and the Restricted Lie–Rinehart algebras structures. Then we introduce the Lie–Rinehart (co)homology. To end the thesis, we present our main results of universal central extensions in Lie–Rinehart algebras and the definition of the non-abelian tensor product.
Dinámica topológica de espacios de grafos
(2021-07) Herrero Vila, Sergio; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Alcalde Cuesta, Fernando
The aim of this work is to study some aspects of the topological dynamics of Gromov-Hausdoff spaces, which was first introduced by É. Ghys in [9]. To do so, we will need to generalize some concepts such as the notion of quasi-isometry (introduced by M. Gromov for graphs and metric spaces [12]) replaced by the notion of Kakutani equivalence, and also to adapt foliations on manifolds to more general topological spaces using laminations and spaces foliated by graphs. Most of these definitions are related with the same dynamical concept, pseudogroups of transformations, which will be deeply studied in chapters 2 and 3. This will be the central axis of our study. Furthermore, given a system of generators of the pseudogroup, we shall endow the orbits with graph structure (by an argument similar to the one we used to construct Cayley graphs) which will lead us to the notion of graphed pseudogroup.
Teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas
(2019-07) Estévez Cuntín, Saúl Francisco; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Alonso Tarrío, Leovigildo
El objetivo de este trabajo es dar una prueba del teorema de Riemann-Roch, que es un resultado fundamental para curvas algebraicas no singulares, el cual revela las conexiones profundas que hay entre las propiedades de naturaleza algebraica y las de naturaleza topológica en las curvas algebraicas. Inicialmente fue desarrollado, en forma de una desigualdad, en teoría de funciones complejas por Bernhard Riemann, en 1857, usando métodos analíticos. Posteriormente, su estudiante Gustav Roch, en 1865, lo expresó en la forma que hoy lo conocemos. Desde su formulación incial, se han propuesto varias pruebas alternativas. Algunas son de naturaleza algebraica, como las de Dedekind y Weber, otras de naturaleza geométrica como la de Brill y Noether. En este trabajo, siguiendo la exposición dada por Serre en [S], quien introdujo la teoría de haces en la Geometría Algebraica, expondremos una prueba cohomológica en la que reinterpretamos el teorema de Riemann-Roch como el cálculo de la característica de Euler-Poincaré de un haz coherente inversible.
Sumas torcidas de espacios de Hilbert y operadores
(2020-07) Pino Velasco, Raúl; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Losada, Jorge
En el siguiente trabajo se presenta la teoría de sumas torcidas de espacios quasi-Banach, que surgió a finales de los años setenta con el objeto de resolver y comprender las soluciones del llamado problema de Palais, que formulaba una cuestión relativa a la estructura de los espacios de Banach y, en particular, de los espacios de Hilbert. Concretamente, se estudiará la estructura de ciertas sumas torcidas que, en particular, constituyen soluciones del problema mencionado anteriormente y se dedicará una breve parte de la memoria al estudio de sus operadores
Ecuaciones en diferencias con involuciones
(2022-09) Decimavilla Domínguez-Gil, Pablo; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas
En este trabajo expandimos el estudio de las ecuaciones en diferencias al incluir ecuaciones con involuciones. Entre otras, consideramos la reflexión y la transformada de Hilbert discreta. Estudiamos la compatibilidad entre ellas y con el operador desplazamiento y construimos reducciones de operadores generados por dichas involuciones. Por último, se dan condiciones de existencia y unicidad de soluciones así como sus expresiones explícitas.
Ecuaciones diferenciales de orden fraccionario
(2012-06) Otero Zarraquiños, Óscar Alejandro; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Nieto Roig, Juan José
Clústering Espacial Orientado a la Astronomía
(2013) Gómez Crespo, Jorge; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Docobo, José Ángel
Los mecanismos de clústering han propiciado en los últimos tiempos importantes logros en múltiples ramas del saber. Habiendo detectado cierto vacío en su aplicación a la rama de la Astronomía, hemos buscado introducir los mecanismos del clústering de localización, llamado también espacial, dentro de esta especialidad científica con el objetivo de aplicarlo a grandes bases de datos en cuanto sea posible.
Homología persistente de redes complejas
(2016-07) Penide Calvo, Gabriel; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Macías-Virgós, Enrique
El análisis topológico de datos y de estructuras complejas con un alto número de unidades interdependientes se ha convertido en una de las ramas más activas de las matemáticas. Las enormes cantidades de datos que se manejan en la actualidad y el descubrimiento de nuevos tipos de redes en biología, informática y ciencias sociales han obligado a desarrollar técnicas novedosas de procesamiento que permitan revelar las estructuras topológicas subyacentes. La homología persistente es una de ellas y sirve para identificar las propiedades topológicas relevantes en una nube de datos o para codificar un grafo y descartar aquellas características que son simplemente ruido o no sobreviven a un análisis más fino. En este trabajo presentamos las definiciones básicas de homología persistente, su codificación mediante unos diagramas, conocidos como códigos de barras, que muestran visualmente aquellas características topológicas que perduran a lo largo del tiempo, y damos algunas aplicaciones para el estudio de diversos tipos de grafos importantes en el análisis de redes complejas.
Ecuaciones Diferenciales Funcionales con Involuciones
(2012) Fernández Tojo, Fernando Adrián; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Cabada Fernández, Alberto
Cálculo fraccionario y dinámica newtoniana
(2013-09) Lombardero, Antón; Universidade de Santiago de Compostela. Departamento de Matemáticas; Nieto Roig, Juan José
Fundamentos y aplicaciones del cálculo fraccionario
(2016-07) Cao Labora, Daniel; Universidade de Santiago de Compostela. Facultade de Matemáticas; Rodríguez-López, Rosana
La primera referencia a la idea de derivada fraccionaria aparece en una carta de l'Hôpital a Leibniz en 1695 cuando todavía comenzaba a forjarse la teoría del cálculo clásico. No obstante, podemos situar el inicio real de la teoría a comienzos del siglo XIX con los trabajos de Lacroix, Abel y otros matemáticos contemporáneos suyos. Actualmente, a pesar de haber carecido de un papel tan relevante en la historia de las matemáticas como el del cálculo entero, el cálculo fraccionario ha captado el interés de multitud de investigadores por sus numerosas aplicaciones en diversas áreas científicas. Uno de los hechos más significativos del cálculo fraccionario es la gran diversidad teórica existente a la hora de definir derivadas e integrales de orden no entero. Es por ello que dedicamos una porción de nuestro trabajo al estudio, comparativa y manejo detallado de varias definiciones no equivalentes. También realizamos un análisis teórico de algunas propiedades (y cuando sea posible soluciones) de ciertas ecuaciones integrodiferenciales fraccionarias, pues estas últimas hacen de puente con el estudio de algunos modelos fraccionarios aplicados.

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