Unha introdución á teoría de Iwasawa

Abstract

[GL] Este traballo pretende realizar unha introdución á teoría de Iwasawa, comezando polo estudo da estrutura dos módulos finitamente xerados sobre Zp[[T]], que se pode entender como unha xeneralización do teorema de clasificación de módulos sobre un dominio de ideais principais. Á súa vez, iso permítenos establecer o teorema de control de Iwasawa para o número de clases dos corpos ciclotómicos. Na segunda parte, presentamos resultados máis recentes que permiten entender mellor a estrutura alxébrica das Zp-extensións, formulando a conxectura principal de Iwasawa, que relaciona dita estrutura alxébrica cun obxecto puramente analítico, a función zeta p-ádica. Finalmente explicamos a estratexia xeral empregada na demostración dese resultado e acabamos ilustrando algunhas tendencias actuais de investigación no tema. [EN] This work aims to provide an introduction to Iwasawa theory, beginning with the study of the structure of finitely generated modules over Zp[[T]], which can be understood as a generalization of the classification theorem for modules over a principal ideal domain. This, in turn, allows us to establish Iwasawa’s control theorem for the class number of cyclotomic fields. In the second part, we present more recent results that provide a better understanding of the algebraic structure of Zp-extensions, formulating Iwasawa’s main conjecture, which relates this algebraic structure to a purely analytic object: the p-adic zeta function. Finally, we explain the general strategy used in the proof of this result, and we conclude by illustrating some current research trends in the area.