O teorema de Krasnoselskii en espazos produto para sistemas de operadores e aplicacións

Abstract

[GL] A teoría do punto fixo consolidouse como unha rama das matemáticas con gran potencial para abordar unha ampla variedade de problemas en análise non lineal, especialmente na demostración da existencia, unicidade ou multiplicidade de solucións de ecuacións diferenciais e integrais. En concreto, o teorema do punto fixo de Krasnoselskii en conos de expansión-compresión foi empregado en numerosos traballos de investigación para obter solucións non triviais a este tipo de problemas. Co obxectivo de acadar resultados de existencia para sistemas de ecuacións diferenciais e integrais con todas as súas compoñentes non triviais, desenvolvéronse distintas versións deste resultado, adaptadas a operadores definidos en espazos produto. Neste traballo introducimos o índice de punto fixo, unha potente ferramenta coa que probaremos os resultados principais. Así mesmo, propoñemos unha nova versión vectorial do teorema de Krasnoselskii, na que as condicións sobre o operador se expresan en termos das normas dos espazos que compoñen o produto no que traballamos. Este resultado orixinal motivou pequenas melloras sobre versións previas, que tamén serán detalladas neste texto. Finalmente, aplicaremos de entre estes resultados os máis novidosos, establecendo condicións que garanten a existencia de solucións con compoñentes positivas en distintos sistemas de ecuacións diferenciais e integrais. [EN] Fixed point theory has proven to be a branch of mathematics with great potential for solving multiple problems in nonlinear analysis, such as proving the existence, uniqueness, or multiplicity of solutions to both integral and differential equations. Specifically, Krasnoselskii’s fixed point theorem in cones of expansion-compression has been widely used in numerous research works to obtain nontrivial solutions to such problems. With the aim of obtaining existence results for systems of differential and integral equations with all components being nontrivial, different versions of this result have been developed, adapted to operators defined on product spaces. In this work, we introduce the fixed point index, a powerful tool with which we will prove the main results. Additionally, we propose a new version of Krasnoselskii’s theorem, in which the conditions on the operator are expressed in terms of the norms of the spaces forming the product space under consideration. This original result has motivated minor improvements to existing versions, which we also describe. Finally, we apply the most novel among these results to establish conditions that guarantee the existence of solutions with positive components for various systems of differential and integral equations.