Fracciones continuas: ecuación de Pell-Fermat

Abstract

En esta memoria se aborda en un primer momento una serie de propiedades de la representación de los números en su forma de fracción continua de una manera general, para luego ver la representación de las Irracionalidades Cuadráticas que se usaran en la siguiente sección, esta representación de las Irracionalidades Cuadraticas fue utilizada, gracias a su increíble forma que se ve a lo largo de esta sección, para demostrar la irracionalidad de, por ejemplo, el numero e y de π . En cuanto a la segunda sección, la cual es el centro de este trabajo, aborda la Ecuación de Pell, un caso especial de representación por formas cuadráticas binarias, y su resolución efectiva, todo gracias al célebre teorema de las unidades de Dirichlet, haciendo uso de esta estructura de las unidades de los cuerpos cuadráticos reales y el algoritmo de las fracciones continuas para Irracionalidades Cuadráticas que antes ya hemos introducido, usando que la Ecuación de Pell involucra una Irracionalidad Cuadrática. En el ultimo apartado de esta segunda sección se abordara una pequeña generalización a formas binarias introduciendo la Clase de Pell y su posible resolución utilizando propiedades antes mencionadas de la Ecuación de Pell.In this statement it will deal in first place a series of properties of the representation of numbers in their expresion in continued fraction in a general way, to see then the representation of the Quadratic Irrationalities thath we will use them in the next section, this representation of the Quadratic Irrationalities was used, thanks of their great properties that is exposed throughout this first section, to see the irrationalitie of, for example, e and π. As regard of the second section, which is the central section in this assignment, present the Pell's Ecuation, a special kind of the representation of numbers by binaries quadratic form, and its efective resolution, all of this thanks to the celebrated Dirichlet's unities Theorem, making use of the structure of the real quadratic field's unities and the algorithm of the continued fraction for Quadratic Irrationalities that we introduced, using that Pell's Ecuation involve a Quadratic Irrationalitie. Lastly in the final part of this section we present a generalization of binay forms intoducing the Pell's Class and its possible resolution using the properties of Pell's ecuation.