Hilbert y la axiomatización de los Elementos de Euclides

Abstract

[ES] Este trabajo aborda el método axiomático formal de David Hilbert, desde una primera manifestación en su obra Grundlagen der Geometrie, hasta una evolución más formal y cercana a la lógica. El objetivo que se pretende es transmitir la importancia de esta obra en sí misma, de las circunstancias que condujeron a su elaboración y de las consecuencias en la matemática y la ciencia posterior. En el trabajo se incluyen, en primer lugar, algunos datos biográficos sobre Hilbert y un repaso histórico de la evolución de la geometría desde su origen hasta su transformación en un corpus axiomatizado, firme y sólido, con Hilbert. Se intenta, además, resaltar la importancia de Euclides como autor del primer sistema axiomático completo: los Elementos, punto de partida para la creación de los Grundlagen. Así mismo, se examina el concepto general de sistema axiomático moderno, sus elementos y propiedades y se muestran algunas diferencias entre la axiomática de las obras de Euclides y Hilbert. La última parte está dedicada solo a los Grundlagen. En ella se tratan sus cinco grupos de axiomas, la no contradicción e independencia de los mismos y la importancia y repercusión de la obra en una nueva forma de hacer matemáticas[EN] This work is about the formal axiomatic method of David Hilbert, from a first manifestation in his treatise Grundlagen der Geometrie, to a later evolution, more formal and close to logics. The aim is to convey the importance of his work itself, of the circumstances that led to its creation and of the consequences in later mathematics and science. The work starts with some biographical information about Hilbert and a historical review of the evolution of geometry from its origin to its transformation into a firm and solid corpus, axiomatized by Hilbert. It also attempts to highlight the importance of Euclid as the author of the first complete axiomatic system: the Elements, which will become the starting point for the construction of the Grundlagen. Likewise, the general concept of the modern axiomatic system, its elements and properties are examined and some differences between the axiomatics in the works of Euclid and Hilbert are shown. The last part is only dedicated to the Grundlagen. It deals with its five groups of axioms, their properties of non-contradiction and independence, and the importance and repercussion of his work on a new way of doing mathematics.