A transformada de Laplace

Abstract

A transformada de Laplace é un método de gran eficiencia á hora de resolver un certo tipo de ecuacións diferenciais e integrais. Ademais do interese que pode ter desde o punto de vista puramente matemático, constitúe unha ferramenta básica na enxeñaría de control moderna e resulta especialmente útil á hora de resolver determinados problemas de valor inicial con termos non homoxéneos de natureza descontinua ou impulsiva. Este tipo de problemas aparece con relativa frecuencia en enxeñaría, especialmente cando se estudan sistemas mecánicos ou eléctricos. Esta unidade didáctica está deseñada para que, en aproximadamente 10 horas de docencia presencial, o alumnado do Grao en Enxeñaría Civil se introduza no manexo desta ferramenta matemática. Comezaremos presentando un problema relacionado co control da pulverización de tratamentos sobre cultivos. Ese problema, ligado a un oscilador harmónico amortecido, serve de exemplo dun problema asociado a un EDO linear de orde dous que aínda non se sabe resolver, en tanto que o termo non homoxéneo non é unha función continua. Coa intención de poder resolver ese problema (e outros similares) introduciremos a transformada de Laplace,(NOTA: Neste tema preséntase a transformada de Laplace en variable real, pensando en que os alumnos aos que irá dirixida non posúen coñecementos de funcións de variable complexa). Aínda así, debemos sinalar que o emprego da teoría de variable complexa presenta notables vantaxes tanto no desenvolvemento da teoría (permite establecer unha expresión xeral para a transformada inversa), como no das súas aplicacións (noción de impedancia en circuítos eléctricos). Para ver o desenvolvemento da transformada de Laplace en variable complexa o alumno interesado pode consultar, por exemplo, o libro de LePage, 1980.) estableceremos condicións para a súa existencia, estudaremos algunhas das súas propiedades máis importantes e veremos como se pode aplicar para resolver un problema de valor inicial (PVI) asociado a unha EDO linear de orde superior. Finalmente precisaremos como modelar unha función impulso a través dunha delta de Dirac e veremos como a transforma de Laplace permite resolver ese tipo de problemas de natureza impulsiva.