Curvatura de Ricci y Ecuaciones de Einstein

Abstract

El objetivo final de este trabajo es el cálculo de los puntos críticos del funcional de Hilbert-Einstein, es decir, de la curvatura escalar total en variedades de Riemann. Para ello se introducirán aquellos conceptos básicos imprescindibles para el desarrollo posterior referentes a variedades diferenciables y a variedades de Riemann. A continuación se introducirán las conexiones como herramienta de derivación en variedades de Riemann y se estudiará la conexión de Levi-Civita. Se expondrán las principales características de las geodésicas y la aplicación exponencial para la consecuente definición de las coordenadas normales. Posteriormente se introducirá la idea de curvatura en variedades y en subvariedades. Finalmente se define el funcional de Hilbert-Einstein y se calculan sus puntos críticos en general y bajo restricciones haciendo variaciones en la métricaThe main purpose of this work is to calculate the critical points of the Hilbert-Einstein functional, also known as the total scalar curvature in Riemannian manifolds. For this purpose, the basic concepts essential for the subsequent development of differentiable manifolds and Riemannian manifolds are introduced. Next, connections are introduced as a tool for derivation in Riemannian manifolds and the Levi-Civita connection is studied. The main characteristics of geodesics and the exponential map are presented for the consequent definition of normal coordinates. Subsequently, the idea of curvature in manifolds and submanifolds is introduced. Finally, the Hilbert-Einstein functional is defined and its critical points are calculated with and without restrictions making variations in the metric.