Espacios de Sobolev y aplicaciones al estudio de ecuaciones en derivadas parciales

Abstract

El presente escrito estará dedicado al estudio de los Espacios de Sobolev Wm,p, desarrollados inicialmente por el matemático homónimo. Estos espacios explicitan con claridad la relación intrínseca entre la derivación y la integración, pero los resultados que aquí se presentan se escapan de las nociones clásicas. Así pues, es necesario introducir el concepto de distribución, lo que permitirá hablar de derivada débil de una función. Posteriormente, una vez establecido el contexto de trabajo, se analizará cuál es la relación existente entre los espacios Wm,p en dependencia de las características del dominio de definición de las funciones del conjunto. Finalmente, en el ámbito de aplicaciones, se verá cómo llevar a la práctica todas las nociones teóricas que se traten, con el fin de resolver numéricamente los problema de Dirichlet y Neumann, que son casos particulares de Ecuaciones en Derivadas Parciales de tipo elíptico. Con este fin, se empleará el Método de Elementos Finitos.The present paper will be dedicated to the study of Sobolev spaces Wm,p, initially developed by the mathematician with the same name. These spaces explicitly state the intrinsic relation between derivation and integration, but the results presented here escape from classical notions. Therefore, it is necessary to introduce the concept of distribution, which will let us talk about the weak derivative of a function. Subsequently, once it has been established the working context, the relationship among Wm,p spaces will be analyzed, depending on the features of the domain of definition of the functions in the set. Finally, in the field of applications, it will be shown how to put into practice all the theoretical notions that will be developed, in order to solve numerically the Dirichlet and Neumann problems, which are particular cases of Partial Differential Equations of elliptic type. For this purpose, it will be used the Finite Element Method.