Ecuacións diferenciais de orde superior

Abstract

Esta unidade didáctica é unha das seis correspondentes á materia de formación básica Matemáticas III, que consta de seis créditos e impártese no primeiro cuadrimestre do segundo curso do Grao en Enxeñería Civil. Esta materia, xunto con Matemáticas I e Matemáticas II —ámbalas dúas materias de primeiro curso, de formación básica e seis créditos cada unha—, forma o módulo ou bloque de Matemáticas, cuxo papel é o de contribuír a acadar tanto as competencias xerais do grado como as específicas de resolver problemas matemáticos que poidan aparecer no ámbito da enxeñería. Nesta unidade didáctica, que foi deseñada para ser desenvolvida en aproximadamente dez horas de docencia presencial, abordarase o estudo das ecuacións diferenciais de orde superior. Cando acometa a preparación desta unidade didáctica, cada estudante xa terá coñecementos básicos de álxebra linear e cálculo diferencial e integral de funcións dunha e varias variables reais—obtidos nas materias Matemáticas I e II—. Tamén estará familiarizado cos diversos tipos de ecuacións diferenciais, coñecerá o que é un problema de valor inicial, saberá modelar varios problemas en termos de ecuacións de primeira orde, e será capaz de resolver algúns deles, competencias adquiridas nas unidades didácticas previas da materia Matemáticas III. Nas unidades precedentes téñense estudado diversos tipos de ecuacións diferenciais de primeira orde resolubles en termos de funcións elementais. Os métodos desenvolvidos para calcular as solucións fundaméntanse principalmente no manexo das técnicas integración, e preséntanse moitas aplicacións de aparencia interesante, e bastante doadas de deducir sempre que se teña ben asimilado o concepto de derivada. Desafortunadamente, calcular solucións de ecuacións diferenciais de orde superior é bastante máis difícil, e terémonos que restrinxir, case por completo, ao estudo das ecuacións lineares con coeficientes constantes. Desenvolveremos un algoritmo para achar a solución xeral das ecuacións diferenciais lineares de orde dous, atopando primeiramente a solución xeral dunha ecuación homoxénea —unha estrutura bastante simple baseada en principios alxébricos elementais—, para pasar a calcular solucións concretas ou particulares das ecuacións non homoxéneas. A utilidade e o interese deste tipo de ecuacións diferenciais quedará patente cando se presenten modelos aplicados a problemas derivados, sobre todo, da física, como o estudo das vibracións en sistemas masa-amortecedor. Porén, hai que recoñecer que durante gran parte do desenvolvemento desta unidade didáctica é frecuente que flote no ambiente unha sensación de maxia matemática, como se os problemas se resolvesen unicamente grazas á concorrencia dunha idea feliz. Para rematar, sinalaremos que a maior parte das ideas desenvolvidas para as ecuacións lineares de segunda orde seguen a ser válidas cando consideramos ecuacións lineares de orde superior, sen cambios na estrutura básica, mais cun nivel moi superior de complexidade na notación. Así mesmo, amosaremos o xeito de propor un sistema de ecuacións diferenciais lineares de primeira orde a partir dunha ecuación diferencial de orde superior, que utilizaremos en unidades didácticas posteriores para resolver estas ecuacións numericamente. Tamén veremos que o anterior método é útil para propor unha ecuación diferencial linear de orde superior partindo dun sistema de ecuacións lineares de primeira orde, o que nos proporcionará un xeito de resolver ditos sistemas.