Sistemas dinámicos discretos unidimensionais: estabilidade, bifurcacións e aplicacións en bioloxía

Abstract

As ecuacións diferenciais ordinarias serven para modelar o comportamento dunha especie cando esta evoluciona no tempo de maneira continua. Sen embargo, cando o crecemento da poboación é un proceso estacional, resulta máis axeitado traballar con sistemas dinámicos discretos unidimensionais. O obxectivo principal deste traballo é introducir ao alumno no estudo cualitativo dos sistemas dinámicos discretos unidimensionais e a súa aplicación. Un esquema aproximado dos contidos é o incluído a continuación. O primeiro paso é establecer un marco teórico para levar a cabo o estudo da estabilidade local seguindo o esquema proporcionado en [7, Capítulo 1], a estabilidade global [2, 5, 15] e as bifurcacións [16, Sección 3.2]. En segundo lugar, aplícase a teoría desenvolvida a modelos de poboación clásicos, coma o de Beverton-Holt ou o de Ricker. Os resultados teóricos acompáñanse con gráficas e simulacións numéricas realizadas co programa MATLAB. Para rematar, realízase unha interpretación dos resultados obtidos en termos biolóxicos.

Ordinary differential equations are useful to model the behavior of a species as it evolves continuously over time. However, when the population growth is a seasonal process, it is more appropriate to work with one-dimensional discrete dynamical systems. The main objective of this work is to introduce the student into the qualitative study of one-dimensional discrete dynamical systems and their applications. An approximate outline of the contents is the one specified below. The rst step is to establish a theoretical framework for conducting the study of local stability following the lines in [7, Chapter 1], global stability [2, 5, 15], and bifurcations [16, Section 3.2]. Second, the theory developed is applied to classical population models, such as the Beverton-Holt or Ricker models. The theoretical results are presented with graphs and numerical simulations performed with MATLAB. Finally, an interpretation of the results obtained in biological terms is made.