Clasificación de Superficies

Abstract

A superficie é un obxecto matemático importante e, como tal, dedícaselle un espazo amplo nos estudos do Grao. Constitúe o exemplo máis sinxelo de variedade multidimensional e as súas propiedades xeométricas, establecidas en gran medida por Gauss hai 200 anos, constitúen o punto de partida do estudo en dimensións superiores. Estudo que, en dimensión dous, se desenvolve na materia Teoría Global de Superficies, que se cursa ao tempo que esta. Aquí adóptase un punto de vista máis abstracto, prescindindo de calquera consideración métrica, centrándose nas propiedades topolóxicas do espazo subxacente. Un marco que, neste caso excepcional, permite conclusións precisas e completas: o Teorema de Clasificación Topolóxica das Superficies. O curso vertébrase arredor do enunciado e demostración deste resultado no caso máis simple, o das superficies compactas. O Programa divídese de forma natural en tres partes, de extensión parella, 1,5 créditos cada unha, para completar os 4,5 créditos dispoñíbeis. No primeiro terzo, os catro primeiros temas, abórdase o estudo da Topoloxía Conxuntista necesaria, tratando especialmente os conceptos de conexidade e compacidade en espazos topolóxicos abstractos. Outro terzo da materia, que abrangue os temas 7, 8 e 9, e parte do tema 10, dedícase ao estudo da Homotopía e o Grupo Fundamental, un mergullo na Topoloxía Alxébrica, unha das grandes achegas da matemática do s.XX, presente no desenvolvemento de toda a matemática pura actual, e que supón unha metodoloxía novidosa e potente, magnificamente exemplificada no uso que se fai dela na demostración do Teorema de Clasificación. En fin, ao terzo restante dedícase esta Unidade Didáctica. Engloba os contidos referidos directamente a superficies, temas 5, 6 e parte do 10. Desde a súa definición, estudo de exemplos, orientabilidade,…ata o enunciado, discusión e demostración do Teorema de Clasificación. Deste xeito, deixando a un lado os desenvolvementos máis técnicos e auxiliares, a Unidade Didáctica céntrase nos aspectos máis substantivos, poñendo a énfase na comprensión do enunciado do Teorema e o seu alcance, analizando as súas consecuencias. E demorándose na consideración do dobre método da demostración: por un lado, un percorrido xeométrico ata reducir cada superficie a un modelo standard e, por outro, un método alxebro-topolóxico, baseado no Grupo Fundamental, para distinguir entre si os diferentes modelos.