Sucesións de solucións aproximadas para ecuacións diferenciais ordinarias

Abstract

O tema principal deste traballo son as sucesións funcionais que converxen a algunha solución dunha ecuación diferencial ordinaria. Nos tres primeiros capítulos recóllense, seguindo unha orde cronolóxica, algunhas das máis relevantes na historia das matemáticas, xunto coa motivación ca que foron introducidas nun primeiro momento: a demostración da analiticidade das solucións de problemas con datos analíticos (Teorema de Cauchy e series de potencias), da existencia de solución (Teorema de Peano e poligonais de Euler) e da unicidade de solución (Teorema de Picard-Lipschitz-Lindelöf e iterantes de Picard) baixo distintas hipóteses. No cuarto capítulo introdúcese un resultado máis recente, no que se constrúe unha sucesión de solucións de problemas perturbados (a sucesión de Walter) co obxectivo de demostrar a existencia de solución maximal para ecuacións diferenciais ordinarias baixo hipótese de continuidade. Finalmente, no Capítulo 5 pártese do clásico método das series de potencias para deseñar dous métodos numérico-simbólicos, implementados en Matlab e SageMath, que permiten aproximar solucións de problemas de valor inicial nos que a función dato é analítica mediante o seu desenvolvemento en polinomio de Taylor, de grao tan alto como se desexe.

The main topic of this work are sequences of functions that converge to a solution of an ordinary differential equation. Some of the most relevant functional sequences in the history of mathematics are presented, following a chronological order, in Chapters 1-3, along with the motivation they were first introduced with: the proof of analyticity of solutions to ODE’s under hypothesis of analyticity (Cauchy’s Theorem and power series), and the proof of existence of solution (Peano’s Theorem and Euler polygonals) and uniqueness of solution (Picard-Lipschitz-Lindelöf’s Theorem and Picard’s Iteration Sequence) under different hypotheses. A more recent result, in which a sequence of solutions of perturbed problems (Walter’s sequence) is constructed in order to prove the existence of a maximal solution to an ODE under hyphothesis of continuity, is presented in Chapter 4. Lastly, Chapter 5 deals with two numerical-symbolic methods, implemented in Matlab and SageMath, which allow to obtain the Taylor expansion of the solution to an initial-value problem, of degree as high as required, under hypothesis of analyticity.