La función Zeta de Riemann

Abstract

El objetivo principal de este trabajo es estudiar la función Zeta de Riemann en profundidad y analizar la hipótesis de Riemann. Para ello, se comienza presentando algunas nociones básicas del análisis complejo, que serán necesarias a lo largo del trabajo, junto a un estudio de la función Gamma de Euler, altamente relacionada con la función Zeta de Riemann. Posteriormente, se introduce la definición de la función Zeta de Riemann, así como sus propiedades fundamentales y ecuación funcional. También se examinan algunos valores concretos de la misma que son de interés, haciendo especial énfasis en sus ceros, y se muestran algunas de sus aplicaciones en otros campos, como la física cuántica o la lingüística. Finalmente, se enfoca el trabajo en la hipótesis de Riemann. En un primer lugar, se examina su contexto histórico, después se demuestra el teorema de los números primos utilizando la función Zeta de Riemann y para terminar se presentan ciertos aspectos asociados a la hipótesis. Estos aspectos serán algunas equivalencias o modificaciones de la hipótesis, sus posibles consecuencias y la evidencia que existe sobre esta hipótesis.

The main objective of this work is to study the Riemann Zeta function in depth and analyze the Riemann hypothesis. To this end, we begin by presenting some basic notions of complex analysis, which will be necessary throughout the work, along with a study of Euler’s Gamma function, which is highly related to the Riemann Zeta function. Subsequently, the definition of the Riemann Zeta function is introduced, as well as its fundamental properties and functional equation. Some specific values of the function, which are of interest, are also examined, with particular emphasis on its zeros, and some of its applications in other fields, such as quantum physics or linguistics, are shown. Lastly, the work focuses on the Riemann hypothesis. First, its historical context is examined, then the prime number theorem is demonstrated using the Riemann Zeta function, and finally, certain aspects associated with the hypothesis are presented. These aspects will be some equivalences or modifications of the hypothesis, its possible consequences, and the existing evidence about this hypothesis.