Introducción a la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales

Abstract

[ES] La Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales es, en la actualidad, una de las herramientas más importantes en el estudio de las ecuaciones diferenciales, especialmente cuando son difíciles o imposibles de resolver. En este trabajo de fin de grado damos una introducción a esta rama de las matemáticas, centrándonos en el estudio de los diagramas de fases de sistemas autónomos definidos en el plano. En primer lugar, se introducen los conceptos y resultados básicos más importantes en la Teoría cualitativa. Después se presentan dos teoremas que determinan el comportamiento de las órbitas de un sistema en un entorno de las singularidades no degeneradas y semihiperbólicas. También se presenta la llamada compactificación de Poincaré, que nos permite dibujar el diagrama de fases global de un sistema de ecuaciones diferenciales plano en una región delimitada del plano, el disco de Poincaré. Para finalizar, se incluyen algunas aplicaciones de la Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales al campo de la biología. Se presenta un modelo que representa el latido del corazón, otro que define el potencial de acción de una neurona y finalmente el modelo de la glucólisis de Selkov, con un estudio cualitativo en el disco de Poincaré.

[EN] The Qualitative Theory of Differential Equations is currently one of the most important tools in the study of differential equations, especially when they are difficult or impossible to solve. In this final degree project we give an introduction to this field of mathematics, focusing on the study of phase portraits of autonomous systems defined in the plane. First of all, the most importan basic concepts and results of the qualitative theory are introduced. Then two theorems that determine the behavior of the orbits of a system in an environment of non-degenerate and semi-hyperbolic singularities are presented. The so-called Poincaré compactification is also presented, which allows us to draw the global phase portrait of a system of plane differential equations in a limited region of the plane, the Poincaré disk. Finally, some applications of the Qualitative Theory of differential equations to the field of biology are included. We present a model that represents the heartbeat, another that defines the action potential of a neuron and finally the Selkov glycolysis model, with a qualitative study on the Poincaré disk.