La ecuación diferencial de Riccati

Abstract

A pesar de la sencillez de su expresión, la ecuación de Riccati no puede ser, salvo en algunos casos particulares especiales, resuelta analíticamente usando funciones elementales o cuadraturas, siendo el método de series de potencias el más comúnmente utilizado para su resolución. En este trabajo, se estudiarán algunos enfoques clásicos para un caso particular de la mencionada ecuación, la transformación del caso general en una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes variables, así como la posibilidad de su reducción, una vez conocida una de sus soluciones particulares, a una ecuación de Bernoulli (y, por tanto, a una ecuación lineal de primer orden). También se presentarán posibles aplicaciones de esta ecuación a diversos campos.

Despite the simplicity of its expression, the Riccati equation cannot be analytically solved using elementary functions or quadratures, except in some special particular cases. The method of power series is the most commonly used approach for its resolution. In this work, we will study some classical approaches for a specific case of the mentioned equation: transforming the general case into a second-order linear homogeneous differential equation with variable coefficients, as well as the possibility of reducing it to a Bernoulli equation (and, therefore, a first-order linear equation) once one of its particular solutions is known. Possible applications of this equation in various fields will also be presented.