Trenzas y álgebras de Lie categóricas

Abstract

En este trabajo se introduce el concepto de trenza sobre módulos cruzados de álgebras de Lie y álgebras de Lie categóricas, de modo que se tenga, como caso particular, que todo álgebra de Lie puede verse como un módulo cruzado trenzado cuya trenza es el propio corchete. También se probará que las categorías de módulos cruzados trenzados de álgebras de Lie y álgebras de Lie categóricas trenzadas son equivalentes, obteniendo como caso particular la conocida equivalencia entre las categorías de módulos cruzados de álgebras de Lie y álgebras de Lie categóricas, motivante para introducir las trenzas en álgebras de Lie categóricas. Tras hacer esto veremos que la idea de trenza coincide con un caso particular del levantamiento de Peiffer para 2-módulos cruzados de álgebras de Lie. Finalmente, se prueba la equivalencia de las categorías de álgebras de Lie simpliciales reducidas con complejo de Moore de longitud 2 y los módulos cruzados trenzados de álgebras de Lie.In this paper we will introduce the notion of braiding for crossed modules of Lie algebras and categorical Lie algebras so that we have, as a particular case, every Lie algebra can be seen as a braided crossed module whose braiding is the Lie bracket itself. We will also prove that the categories of braided crossed modules of Lie algebras and braided categorical Lie algebras are equivalent, obtaining as a particular case the well-known equivalence between the categories of crossed modules of Lie algebras and categorical Lie algebras, which leads to introduce the braiding in categorical Lie algebras. After doing this we will see that the idea of braiding matches with a particular case of the Peiffer lifting for 2-crossed modules of Lie algebras. Finally, we will prove the equivalence between the categories of reduced simplicial Lie algebras with Moore complex of length 2 and the braided crossed modules of Lie algebras.