Sumas de cuadrados y formas modulares

Abstract

El objetivo de este Trabajo Fin de Grado es responder a algunas de las preguntas clásicas de la teoría de números, como qué enteros positivos se pueden escribir como la suma de dos cuadrados o si todo entero positivo se puede expresar como la suma de cuatro cuadrados. Estas preguntas se afrontan desde el punto de vista del análisis complejo utilizando la teoría de formas modulares. Estas son funciones definidas en el semiplano superior que admiten diferentes simetrías. En concreto, se emplea la función theta de Jacobi. Primero, se introducen definiciones que resultan de interés para la comprensión de los argumentos posteriores y una serie de resultados que se van a utilizar en las demostraciones presentadas al dar respuesta a las cuestiones. Luego, se define la función theta de Jacobi y se recogen algunas propiedades de esta que serán de interés en el desarrollo de las respuestas a las preguntas. A continuación, se desarrollan las demostraciones de los teoremas de los dos, los cuatro y los ocho cuadrados de acuerdo con los enunciados propuestos por Jacobi, empleando la teoría de formas modulares y la función theta de Jacobi para probar la equivalencia de las propiedades estructurales de esta última con las de otras funciones definidas para demostrar los teoremas. Además, se presenta una idea de la demostración del teorema de los tres cuadrados, cuyo tratamiento es más complejo.

The aim of this Final Degree Project is to answer some of the classic questions in Number Theory, such as which positive integers can be written as the sum of two squares or whether all positive integers are the sum of four squares. These questions are addressed from the point of view of Complex Analysis by means of the theory of modular forms. These are functions defined in the upper half-plane that admit different symmetries. Specifically, the Jacobi theta function will be used. First, definitions that are of interest for the comprehension of subsequent arguments are introduced, together with a series of results that are used when answering these questions. Then, the Jacobi theta function is defined, together with its properties that will later be used. Then, the proofs of the sum of two squares theorem, the sum of four squares and the sum of eight squares theorem according to Jacobi are presented, using the theory of modular forms and Jacobi theta function to prove the equivalence of the structural properties of the latter with other functions defined specifically to prove each theorem. Furthermore, an idea of the proof of the sum of three squares theorem, the treatment of which is more complex, is presented.