Disconjugación en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias

Abstract

[ES] En este trabajo nos centraremos en la disconjugación de las ecuaciones diferenciales lineales. Se expondrán numerosos resultados sobre esta propiedad. En los tres primeros capítulos definiremos términos como son Wronskiano, sistema de Descartes o función de Green, con el fin de probar que la continuidad, en un intervalo abierto o semiabierto I, de los coeficientes de una ecuación diferencial general de orden n, implica que dicha ecuación es disconjugada si, y solo si, toda solución no trivial tiene menos de n ceros distintos en I, independientemente de su multiplicidad. Finalmente en el capítulo 4 estableceremos una relación entre la disconjugación de una ecuación diferencial lineal, con un parámetro que puede tomar distintos valores, y sus posibles autovalores, llegando a un teorema que nos proporciona un intervalo de disconjugación para dicho parámetro. Acabaremos mostrando varios ejemplos de casos particulares en los que caracterizaremos el intervalo de disconjugación utilizando Maple.

[EN] In this paper we will focus on the disconjugation of linear differential equations. Numerous results will be presented on this property. In the first three chapters we will define terms such as Wronskian, Descartes'system or Green's function, in order to prove that the continuity, in an open or semi-open interval I, of the coeficients of a general differential equation of order n, implies that this equation is disconjugated if, and only if, any non-trivial solution has less than n different zeros in I, regardless of its multiplicity. Finally, in chapter 4, we will establish a relationship between the disconjugation of a linear differential equation, with a parameter that can take different values, and its possible eigenvalues, which will bring us to a theorem that provides us with a disconjugation interval for this parameter. We will end by showing several examples of particular cases in which we will characterize the interval of disconjugation using Maple.