Medida e integración abstractas: desvelando o teorema de Radon-Nikodym

Abstract

Esta memoria presenta un estudo completo e detallado do concepto de medida, comezando polas medidas positivas e estendendo progresivamente a análise a casos máis xerais, como as medidas reais e complexas. Dedícase unha atención especial a un dos resultados fundamentais da Teoría da Medida: o Teorema de Radon–Nikodym, que xunto co Teorema de Descomposición de Lebesgue, é unha ferramentas esenciais para comprender a estrutura e o comportamento das medidas. Para facilitar o desenvolvemento destes temas, introdúcense os coñecementos previos necesarios en Teoría da Medida e Análise Funcional, incluíndo definicións clave, proposicións auxiliares e resultados intermedios que permiten unha formulación e demostración rigorosa dos teoremas. Ademais, inclúese unha recensión histórica que destaca as achegas de Henri Lebesgue, Johann Radon e Otton Nikodym sobre o desenvolvemento do teorema que leva os seus nomes. O estudo complétase cun exemplo académico detallado que ilustra a aplicación do Teorema de Radon–Nikodym nun contexto concreto. En conxunto, este traballo busca ofrecer unha comprensión sólida e accesible dun dos teoremas máis relevantes da análise matemática contemporánea.This dissertation presents a comprehensive and detailed study of the concept of measure, starting with positive measures and gradually extending the analysis to more general cases, such as real and complex measures. Special attention is given to one of the fundamental results in Measure Theory: the Radon–Nikodym Theorem, which, along with the Lebesgue Decomposition Theorem, is anessential tool for understanding the structure and behavior of measures. To support the development of these topics, the necessary background in Measure Theory and Functional Analysis is introduced, including key definitions, auxiliary propositions, and intermediate results that enable a rigorous formulation and proof of the theorems. Additionally, a historical review is included, highlighting the contributions of Henri Lebesgue, Johann Radon, and Otton Nikodym to the development of the theorem with their names. The study is completed with a detailed academic example that illustrates the application of the Radon–Nikodym Theorem in a concrete setting. Overall, this work aims to provide a solid and accessible understanding of one of the most relevant theorems in contemporary mathematical analysis.