Idempotencia y descomposición

Abstract

En teoría de módulos se plantean dos importantes cuestiones que trataremos de abordar en este 𝚃𝙵𝙶: ¿Cuándo se descompone un módulo es suma directa de módulos indescomponibles? y ¿cuándo son equivalentes dos de esas descomposiciones? A diferencia de los espacios vectoriales, los módulos no siempre admiten una descomposici ón de ese tipo, como, por ejemplo, los 𝙍-módulos sobre el anillo 𝙍 de las funciones continuas 𝑓: ℚ → ℛ. Sin embargo, se probará que en algunos casos, como el de los módulos noetherianos, artinianos y semisimples, la primera cuestión tienen respuesta afirmativa. Este trabajo comienza estudiando las descomposiciones de 𝙍-módulos en suma directa de módulos indescomponibles y la relación que existe entre ellas y los idempotentes de su anillo de endomorfismos. Se verá también que, en el caso particular de considerar un anillo, 𝙍, como 𝙍-módulo, sus descomposiciones vienen determinadas por una familia completa de idempotentes ortogonales y, si estos son centrales, se obtiene una descomposición del anillo en suma directa de anillos. Se finaliza el trabajo dando una respuesta a la segunda de las preguntas planteadas. Para ello se define el concepto de descomposiciones equivalentes y se prueban resultados relacionados con la unicidad de las descomposiciones indescomponibles salvo equivalencia, entre los que destacamos el teorema de Krull-Schmidt y el teorema de Azumaya.Two important questions about theory of modules are posed: When can a module be descomposed as a direct sum of indescomposable summands? and, when are two of those descompositions equivalent? Unlike vector spaces, modules do not always admite this kind of descompositions, for example, 𝙍-modules over the ring 𝙍 of continuous functions 𝑓: ℚ → ℛ. Nevertheless, it will be proven that in some cases, like noetherian, artinian and semisimple modules, this property does verify. This work is started studying the properties related to descompositions of 𝙍-modules in direct summands and sets up the relation existing between them and the idempotents of their ring of endomorphisms. Furthermore, we will be studying that in the particular case where we consider a ring as a 𝙍-module, its descompositions are determinated by a complet set of ortogonal idempotents and, if they are central, we obtain a descomposition of the ring as a direct sum of rings. The work will be nished by givin an answer to the second question we have posed. For this purpose we will de ne the concept of equivalent descompositions and we will be proving results related to uniqueness of indescomposable descompositions except for equivalences. We will highlight the Krull-Schmidt theorem and the Azumaya theorem.