RT Generic
T1 Idempotencia y descomposición
A1 Vilar González, Alba
AB En teoría de módulos se plantean dos importantes cuestiones que trataremos de abordaren este 𝚃𝙵𝙶:¿Cuándo se descompone un módulo es suma directa de módulos indescomponibles? y¿cuándo son equivalentes dos de esas descomposiciones?A diferencia de los espacios vectoriales, los módulos no siempre admiten una descomposición de ese tipo, como, por ejemplo, los 𝙍-módulos sobre el anillo 𝙍 de las funcionescontinuas 𝑓: ℚ → ℛ. Sin embargo, se probará que en algunos casos, como el de los módulosnoetherianos, artinianos y semisimples, la primera cuestión tienen respuesta afirmativa.Este trabajo comienza estudiando las descomposiciones de 𝙍-módulos en suma directade módulos indescomponibles y la relación que existe entre ellas y los idempotentes de suanillo de endomorfismos.Se verá también que, en el caso particular de considerar un anillo, 𝙍, como 𝙍-módulo,sus descomposiciones vienen determinadas por una familia completa de idempotentes ortogonalesy, si estos son centrales, se obtiene una descomposición del anillo en suma directade anillos.Se finaliza el trabajo dando una respuesta a la segunda de las preguntas planteadas.Para ello se define el concepto de descomposiciones equivalentes y se prueban resultadosrelacionados con la unicidad de las descomposiciones indescomponibles salvo equivalencia,entre los que destacamos el teorema de Krull-Schmidt y el teorema de Azumaya.
AB Two important questions about theory of modules are posed:When can a module be descomposed as a direct sum of indescomposable summands?and, when are two of those descompositions equivalent?Unlike vector spaces, modules do not always admite this kind of descompositions, forexample, 𝙍-modules over the ring 𝙍 of continuous functions 𝑓: ℚ → ℛ. Nevertheless, itwill be proven that in some cases, like noetherian, artinian and semisimple modules, thisproperty does verify.This work is started studying the properties related to descompositions of 𝙍-modulesin direct summands and sets up the relation existing between them and the idempotentsof their ring of endomorphisms.Furthermore, we will be studying that in the particular case where we consider a ringas a 𝙍-module, its descompositions are determinated by a complet set of ortogonal idempotentsand, if they are central, we obtain a descomposition of the ring as a direct sum ofrings.The work will be  nished by givin an answer to the second question we have posed.For this purpose we will de ne the concept of equivalent descompositions and we willbe proving results related to uniqueness of indescomposable descompositions except forequivalences. We will highlight the Krull-Schmidt theorem and the Azumaya theorem.
YR 2021
FD 2021-07
LK http://hdl.handle.net/10347/29145
UL http://hdl.handle.net/10347/29145
LA spa
NO Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2020-2021
DS Minerva
RD 28 abr 2026