Aproximación de solucións de ecuacións diferenciais con iterantes de Picard

Abstract

[GL]O teorema de Picard asegura a posibilidade de aproximar a solución dun sistema de EDOs mediante os chamados iterantes de Picard cando a parte non linear é continua e satisfai unha condición de Lipschtiz con respecto á variable dependente. É interesante estudar o que ocorre coa sucesión de iterantes de Picard noutros casos, e así, ver se constitúen unha ferramenta válida para aproximar solucións. O traballo consiste en describir a demostración do teorema de Picard baseada no teorema da aplicación contractiva e analizar o comportamento dos iterantes de Picard en casos nos que as hipótesis do teorema non se cumplan. Á vista da definición dos iterantes de Picard é claro que a súa construción é posible sen que ƒ sexa lipschitziana con respecto á súa segunda variable (unha das hipóteses do teoremade Picard). É aquí onde xorden varias cuestións sobre a relación entre a converxencia dos iterantes de Picard e a solución do problema, sabendo só que ƒ é continua nun entorno de (t0,y0). Responderase a ditas cuestións con contra exemplos ao longo do traballo, utilizando diferentes condicións suficientes de unicidade local. A parte teórica complementarase coa implementación do método de Picard no ordenador empregando o software matemático Maple. Onde se verá o comportamento dos iterantes de Picard gráficamente, tanto en casos nos que as hipóteses do teorema se cumplan, como en casos nos que non o faga

[EN]Picard’s theorem ensures the possibility of approximating the solution of a system of EDOs by means of Picard’s so-called iterants when the nonlinear part is continuous and satisfies a Lipschtiz condition with respect to the dependent variable. It is interesting to study what happens with the Picard’s iteration sequence in other cases, and thus, see if they constitute a valid tool to approximate solutions. The work consists of describing the proof of Picard’s theorem based on the contractive application theorem and analyzing the behavior of Picard’s iterants in cases where the hypotheses of the theorem are not fulfilled. In view of Picard’s definition of iterants it is clear that their construction is possible without ƒ being lipschitzian with respect to its second variable (one of the hypotheses of Picard’s theorem). This is where several questions arise about the relationship between the convergence of Picard’s iterants and the solution of the problem, knowing only that ƒ is continuous in an environment of (t0,y0). We will answer these questions with counterexamples throughout the work, using different sufficient conditions of local uniqueness. The theoretical part will be complemented with the implementation of the Picard method on the computer using the Maple mathematical software. Where we will see the behavior of Picard’s iterants graphically, both in cases where the theorems of the theorem are met, and in cases where it does not