Métodos algebraicos y combinatorios en la robótica topológica

Abstract

[ES] En este trabajo desarrollamos métodos algebraicos y combinatorios en la robótica topológica. Más en concreto, estudiamos invariantes homotópicos relacionados con el problema de planificación de movimientos, como la categoría de Lusternik-Schnirelmann o la complejidad topológica, a partir de una noción que los unifica: la distancia homotópica. Las técnicas que utilizamos combinan tanto herramientas clásicas de topología algebraica, como los grupos de homotopía o la (co)homología, así como recursos de topología combinatoria y computacional, gracias a los complejos simpliciales. Esto nos permite definir nuevos invariantes originales que mejoran estrictamente cotas y resultados existentes en la literatura, a la vez que diseñar algoritmos que, mediante la implementación de programas computacionales de cálculo simbólico, hallan estos invariantes para cualquier espacio triangulable.

[EN] In this dissertation, we develop algebraic and combinatorial methods within the framework of topological robotics. More specifically, we study homotopy invariants related to the motion planning problem, such as the Lusternik-Schnirelmann category and topological complexity, through a unifying notion: homotopic distance. The techniques we use combine classical tools from algebraic topology, such as homotopy groups and (co)homology, with ideas from combinatorial and computational topology via simplicial complexes. This allows us to define new original invariants that strictly improve existing bounds and results in the literature, as well as to design algorithms which, through the implementation of symbolic computation programs, calculate these invariants for any triangulable space.