Categorías (finitamente) universales

Abstract

Un dos problemas clásicos que impulsou importantes avances en álxebra é o Problema Inverso de Galois, proposto por Hilbert en 1892. Inspirado por este problema e seguindo unha lóxica semellante, xorde a comezos do século XX o problema de realización de grupos, que formula unha cuestión aparentemente sinxela: dada unha categoría C e un grupo G, existe algún obxecto de C cuxo grupo de automorfismos sexa isomorfo a G? Cando isto ocorre para todo grupo (finito), dise que a categoría é (finitamente) universal. Un dos primeiros avances neste ámbito débese a R. Frucht, quen en 1939 demostrou que a categoría dos grafos simples finitos é finitamente universal. Dende entón, o problema foi estudado en diversas categorías e continúa a ser, a día de hoxe, un tema de interese na investigación en álxebra. O obxectivo deste traballo é introducir o problema de realización de grupos, presentar as ferramentas máis relevantes para o seu estudo e aplicar estas técnicas para abordar, por primeira vez na literatura, a universalidade finita da categoría dos aneis de fusión, estruturas alxébricas que xorden de forma natural tanto en álxebra como en certos contextos da física teórica dentro do marco actual de investigación