La ecuación del calor

Abstract

[ES] En este trabajo estudiamos el cálculo de soluciones de la ecuación del Calor, primero desde un punto de vista sencillo, el caso unidimensional y posteriormente el caso 𝑛-dimensional. Para realizar el cálculo de soluciones en el contexto unidimensional empleamos series de Fourier, mientras que para el caso de dimensiones superiores utilizamos la transformada de Fourier. Una vez obtenida la solución, probamos la unicidad aplicando el principio del máximo. En el caso 𝑛-dimensional es necesario restringir el problema a funciones acotadas, de forma que sea posible aplicar el principio del máximo. Por último, realizamos una representación gráfica de algunas soluciones con el software matem ático Maple, con el objetivo de que el lector pueda visualizar cómo son las soluciones de los distintos problemas estudiados.

[EN] In this work we will study how to solve the heat conduction problem, first from a simple approach, in the one-dimensional context. Afterwards, the 𝑛-dimensional case will be analyzed. In order to obtain the corresponding solutions in the one-dimensional setting, Fourier series will be employed, whereas the Fourier Transform will be used for higher dimensions. Once a solution is obtained, we will prove its uniqueness by applying the maximum principle. In the 𝑛-dimensional context, it will be necessary to restrict the problem to bounded functions, so that it is possible to apply the maximum principle. Lastly, we will show some of the solutions by graphically representing them with the mathematical software Maple, with the objective of providing a better visualization of the solutions for the different problems studied.