Formulación lagrangiana: simetrías y reducción

Abstract

La formulación geométrica de las ecuaciones de Euler-Lagrange de la Mecánica Clásica está basada en las estructuras geométricas del fibrado tangente TM de la correspondiente variedad de configuración M. Una descripción geométrica de las ecuaciones, de Hamilton y de Euler-Lagrange, de las Teorías Clásicas de Campos, se puede hacer utilizando los formalismos k-simpléctico y k-cosimpléctico [LMORS, LMS, MRS]. Estos se pueden considerar como el paso intermedio entre el formalismo simpléctico y cosimpléctico, con los que se formula geométricamente la Mecánica, y el formalismo multisimpléctico [CCI, GIM1, GIM2]. Una de las características de dichos formalismos, k-simpléctico y k-cosimpléctico, es su sencillez, sólo se utilizan fibrados tangentes y cotangentes. Los objetivos fundamentales de esta memoria han sido 1) el estudio de simetrías en la Teoría Clásica de Campos, utilizando el formalismo k-simpléctico, 2) la reducción de las ecuaciones de Euler-Lagrange y la construcción de soluciones, utilizando también, el formalismo k-simpléctico, con un procedimiento similar al utilizado en [MC], 3) el desarrollo de un nuevo formalismo geométrico para las ecuaciones de Euler-Lagrange cuando el lagrangiano depende de las variables espacio-tiempo, y la introducción y estudio de las simetrías generalizadas utilizando este nuevo formalismo. En este punto hemos utilizado teoría de jets.