A Integral de Bochner

Abstract

[GL] O propósito do traballo é a xeralización da coñecida integral de Lebesgue, que a estenderemos a funcións que toman valores nun espazo de Banach 𝐵 arbitrario. Esta integral xoga un papel moi importante á hora de estudar as solucións de determinadas EDPs, pois os espazos onde se buscarán estarán formados por funcións integrables neste novo sentido. Do mesmo modo, xeralizaremos os famosos espazos de Lebesgue 𝘓ᵖ , estendéndoos de maneira natural a funcións que toman valores nun espazo de Banach. Para facer isto, é importante estar familiarizado con algunhas nocións básicas da análise funcional e a teoría da medida de Lebesgue, polo que os dous primeiros capítulos estarán dedicados a recordar certos conceptos e resultados que axuden a comprender mellor o resto do traballo.

[EN] The aim of this work is to generalise the well known Lebesgue integral, which we will extend to functions that take values on an arbitrary Banach space 𝘉. This new integral plays a major role when studying solutions of some partial differential equations, as we will search them in spaces formed by these new integrable functions. Similarly, we will generalise the famous 𝐿ᵖ spaces, extending them naturally to Banach valued functions. To study this, it's important to be familiar with some basic notions about functional analysis and Lebesgue measure theory, so the first chapters will be dedicated to recall certain concepts that may help the understanding of this work.