Series de Fourier e resolución de ecuacións en derivadas parciais en dimensión superior

Abstract

Neste traballo ampliamos o estudado na materia Series de Fourier e Introdución ás EDPs sobre o uso das series de Fourier e o método de separación de variables para a resolución de problemas iniciais e de fronteira coas ecuacións da calor, de ondas e de Laplace. O obxectivo principal foi explorar máis profundamente os conceptos fundamentais e as técnicas avanzadas para a dedución e a resolución destes modelos matemáticos. Fixemos un enfoque particular nos métodos analíticos e numéricos que permiten abordar problemas en dimensións espaciais superiores, en particular dimensión dúas e dimensión tres. Para estas dimensións destacamos a importancia das condicións de contorno e das condicións iniciais na obtención das solucións. Empregamos o método de separación de variables e as series de Fourier como ferramentas cruciais para descompoñer e resolver estas ecuacións en distintos escenarios prácticos. Finalmente proporcionamos exemplos concretos e visualizacións gráficas das solucións obtidas a través de software especializado, en particular Matlab e Maple.

In this essay, we extend the study of the Fourier Series and Introduction to PDEs course on the use of Fourier series and the method of separation of variables for solving initial and boundary value problems with the heat, wave, and Laplace equations. The main objective was to explore more deeply the fundamental concepts and advanced techniques for the deduction and resolution of these mathematical models. We focused particularly on analytical and numerical methods that allow addressing problems in higher spatial dimensions, specifically two and three dimensions. For these dimensions, we highlighted the importance of boundary conditions and initial conditions in obtaining solutions. We employed the method of separation of variables and Fourier series as crucial tools to decompose and solve these equations in various practical scenarios. Finally, we provided concrete examples and graphical visualizations of the solutions obtained through specialized software, particularly Matlab and Maple. In this way, we aim to provide a more comprehensive and applied understanding of the techniques studied.