Una introducción a la cohomología de grupos

Abstract

El objetivo de este trabajo es el estudio de los grupos de cohomología Hn (G, A) de un grupo G con coeficientes en un G-módulo a la izquierda A, utilizando los funtores derivados ExtnG. Se estudian propiedades de estos grupos, se da una interpretación para n = 0 y n = 1, en este último caso para G-módulos de coeficientes triviales y para un G-módulo cualquiera en términos de derivaciones. Se calcula la cohomología de los grupos cíclicos y se estudia la resolución estándar normalizada de Z, que es muy útil en el estudio y cálculo de la cohomología. Se da una interpretación del segundo grupo de cohomología H2 (G, A) en términos de extensiones de G por A utilizando el concepto de "factor set" de G × G en A. Finalmente, se prueba el teorema de Schur-Zassenhaus que afirma que si H es un subgrupo normal de un grupo finito E y m.c.d.(|H|, |E/H|) = 1, entonces el grupo E es isomorfo al producto semidirecto de H por E/HThe aim of this work is to study the cohomology groups Hn (G, A) of G with coeficients in the G-module A, using the derived functors Extn G. We study the properties of these groups and give an interpretation for n = 0 and n = 1, in this last case for trivial Gmodules and for any G-module in terms of derivations. We compute the cohomology of ciclic groups and give a description of the normalized standard resolution of Z, very useful in order to compute the cohomology. We prove that the second cohomology group H2 (G, A) classifies extensions with abelian kernel, using the concept of "factor set". Finally, we prove the Schur-Zassenhaus theorem that states that if H is a normal subgroup of a finite group E, and H and E/H have coprime order, then E is isomorphic to the semidirect product of H by E/H