Ecuacións p-Laplacianas

Abstract

A fabricación de chalecos antibalas, a reparación de baches e outras moitas aplicacións motivaron o estudo dunha clase especial de fluídos, denominados Fluídos non Newtonianos. Estes caracterízanse por non presentar unha relación linear entre a tensión tanxencial e a velocidade de deformación. O seu estudo é de gran interese e conduce a análise das coñecidas como ecuacións p-Laplacianas, presentes tamén noutros campos como en problemas de reacción-difusión ou en medios porosos. En función do valor de p estaremos ante o caso de fluídos pseudo-plásticos (1 < p < 2), dilatantes (p > 2) ou Newtonianos (p = 2). O estudo e a modelización das mesmas foron o obxectivo principal deste traballo. Por un lado, buscáronse os autovalores de problemas p-Laplacianos non homoxéneos así como a solución dalgúns problemas de contorno por medio do desenvolvemento da teoría espectral. Por outra parte, analizáronse a existencia e a unicidade de solución do problema de Neumann coñecendo sub e sobre solucións do mesmo ben ordenadas ou dadas en orde inversa. No cálculo dos autovalores atopouse unha descrición completa do espectro e unha representación das autofuncións. No referente ao problema de Neumann, no primeiro caso (sub e sobre solución ben ordenadas) os resultados foron xenéricos no sentido de que baixo hipóteses axeitadas puidemos asegurar a existencia de solución para todo p > 1. Non obstante, no segundo (sub e sobre solución dadas en orde inversa) as deducións só foron válidas cando 1 ≤ p 2.The manufacture of bulletproof vests, road pothole repairs, and many other applications have motivated the study of a special class of fluids called Non-Newtonian fluids. These fluids are characterized by not having a linear relationship between shear stress and deformation velocity. Their study is of great interest and leads to the analysis of the so-called p-Laplacian equations, which are also present in other fields such as reactiondiffusion problems or porous media. Depending on the value of p, we encounter the cases of pseudoplastic fluids (1 < p < 2), dilatant fluids (p > 2), or Newtonian fluids (p = 2). The study and modeling of these fluids were the main objective of this work. On the one hand, we sought the eigenvalues of non-homogeneous p-Laplacian problems and solved some boundary value problems using the development of spectral theory. On the other hand, we analyzed the existence and uniqueness of solutions for the Neumann problem by knowing lower and upper solutions that are either well-ordered or given in reverse order. In the calculation of eigenvalues, a complete description of the spectrum and a representation of the eigenfunctions were found. Regarding the Neumann problem, in the first case (well-ordered lower and upper solutions), the results were generic in the sense that under suitable assumptions, we could ensure the existence of a solution for all p > 1. However, in the second case (lower and upper solutions given in reverse order), the deductions were only valid when 1 ≤ p 2.