Sistemas dinámicos

Abstract

Un sistema dinámico no es más que un sistema de ecuaciones que varían con el tiempo: si este recorre los números reales, hablaremos de sistemas dinámicos continuos; cuando toma valores enteros, se llamarán sistemas dinámicos discretos. El objetivo de este trabajo es hacer una introducción teórica a los sistemas dinámicos para más tarde estudiar los dos casos particulares existentes. Veremos como los sistemas dinámicos continuos se pueden considerar equivalentes a las ecuaciones diferenciales ordinarias gracias al Teorema de Existencia Global. Además, estudiaremos los diferentes tipos de conjuntos atractores o repulsores que definen sus retratos de fases. Por otra parte, abordaremos los sistemas dinámicos discretos de una manera más gráfica, hablando sobre puntos periódicos e hiperbólicos. Luego, nos centraremos en un ejemplo concreto (la familia cuadrática) y, para finalizar, introduciremos el concepto de caos.

A dynamical system is just a system of equations that varies over time: if it goes through real numbers, we will talk about continuous dynamical systems; when it takes integer values, they will be called discrete dynamical systems. The objective of this work is to make a theoretical introduction to dynamical systems in order to study the two existing particular cases later on. We will see how continuous dynamical systems can be considered equivalent to ordinary differential equations thanks to the Global Existence Theorem. Moreover, we will study the different types of attracting or repelling sets that define their phase portraits. On the other hand, we will approach discrete dynamical systems in a more graphic way, talking about periodic and hyperbolic points. Then, we will focus on a specific example (the quadratic family) and, to finish, we will introduce the concept of chaos.