Criterios de unicidade para sistemas de EDO’s de primeira orde

Abstract

A teoría das ecuacións diferenciais ordinarias é unha das ramas máis salientables da Análise Matemática. Dentro da teoría das ecuacións diferenciais ordinarias, a existencia e unicidade de solución é unha das cuestións máis tratadas polos grandes matemáticos. O obxectivo deste traballo é estudar, dende un punto de vista teórico, que condicións se precisan para garantir a unicidade de solución. Comezarase introducindo unha serie de conceptos básicos que serán necesarios ao longo do texto. A continuación, presentaranse diversas probas alternativas para o Teorema de Picard-Lipschitz, sendo un dos resultados centrais do traballo. Posteriormente, estudaranse varias xeneralizacións do resultado anterior, chegando a criterios nos que se piden condicións máis débiles que no Teorema de Picard-Lipschitz, como son os criterios de Osgood, Nagumo e Montel-Tonelli. Para rematar, enunciaranse resultados que aseguran unicidade de solución onde as hipóteses sobre a función se cumpran respecto á variable independente, ou respecto a un vector arbitario de ℛ², dando lugar a criterios alternativos aos anteriores.

The theory of ordinary differential equations is one of the most important fields of mathematical analysis. Within this theory, the existence and uniqueness of solutions is one of the most studied issues by great mathematicians. The objective of this project is to study, from a theoretical point of view, the conditions needed to guarantee the uniqueness of solutions. We will start by introducing some basic concepts that will be necessary throughout the project. Next, various proofs for the Picard-Lipschitz Theorem will be presented, as it is one of the central results of this work. Afterwards, several generalizations of the previous result will be studied, reaching criteria that require weaker conditions than those in the Picard-Lipschitz Theorem, such as the Osgood, Nagumo and Montel-Tonelli criteria. Finally, results will be outlined that ensure the uniqueness of solutions where the hypothesis about the function hold with respect to the independent variable or with respect to an arbitrary vector of ℛ², providing alternative criteria those mentioned before.