El teorema de la aplicación de Riemann

Abstract

El presente documento aborda el teorema de la aplicación de Riemann, un resultado esencial en el análisis complejo, que establece la existencia de aplicaciones conformes entre conjuntos simplemente conexos y el disco unidad. Para ello, se introduce el marco teórico necesario, comenzando con una breve introducción sobre el teorema, así como algunas definiciones y resultados fundamentales de las funciones holomorfas. Más adelante, se profundiza en las transformaciones de Möbius, una herramienta esencial en el desarrollo del trabajo que, junto con el lema de Schwarz, tiene un papel fundamental para caracterizar los automorfismos del disco unidad. Se cierra este desarrollo teórico con el estudio de algunas propiedades del espacio de las funciones holomorfas, proporcionando así una base para poder dar una demostración rigurosa del teorema. Finalmente, se destaca la importancia del mismo, poniendo de manifiesto algunas aplicaciones relevantes en otras ramas científicas, como pueda ser la mecánica de fluidos en la física, y se dará un algoritmo para hallar de manera estimativa la aplicación que describe el teorema.This document addresses the Riemann mapping theorem, an essential result in complex analysis that establishes the existence of conformal mappings between simply connected sets and the unit disk. To this end, the necessary theoretical framework is introduced, beginning with a brief introduction to the theorem, along with some fundamental definitions and results on holomorphic functions. Later, the focus shifts to Möbius transformations, a key tool in this work that, together with Schwarz’s lemma, plays a fundamental role in characterizing the biholomorphic automorphisms of the unit disk. This theoretical development concludes with the study of certain properties of the space of holomorphic functions, thereby providing a foundation for giving a rigorous proof of the theorem. Finally, the importance of the theorem is highlighted by presenting some relevant applications in other scientific fields, such as fluid mechanics in physics, and an algorithm is provided to approximately compute the mapping described by the theorem.