Teoría do grao: introdución e aplicacións

Abstract

[GL]A teoría do grao é una ferramenta fundamental nas matemáticas que nos da información acerca do número de solucións que ten unha ecuación. A idea consiste en que o chamado grao topolóxico denota un número que está estreitamente relacionado co número de ceros dunha función. Este traballo pretende estudar o comportamento e propiedades do grao topolóxico, así como certas aplicacións deste. As propiedades do grao topolóxico permitirannos demostrar o Teorema do punto fixo, que á súa vez será de gran utilidade para resolver certos problemas da Análise Matemática. Comezaremos pola definición de grao para espazos finitos, o chamado grao de Brouwer. Ademais, estudaremos as súas propiedades principais e diversas aplicacións. Posteriormente estenderemos este concepto a espazos de dimensión infinita, o que se denota como grao de Leray-Schauder. Neste caso, as propiedades serán froito dunha adaptación das vistas para o grao de Brouwer pero para dimensión infinita[EN]Degree theory is a fundamental tool in mathematics that gives us information about the number of solutions of an equation. That is, we call topological degree to a number that is closely related to the number of zeros of a function. The aim of this work is study the behavior and properties of the topological degree, as well as certain applications of it. These properties will allow us to prove the fixed point Theorem, which will be very useful for solving some problems of Mathematical Analysis. We are going to start with the definition of degree for finite spaces, that is called Brouwer's degree. In addition, we are going to study its main properties and various applications. Later we are going to extend this concept to spaces of infinite dimension, which is known as Leray-Schauder's degree. In this case, the properties are going to be the result of an adaptation of the properties of Brouwer's degree to infinite dimension