Unha introdución á Regresión Modal

Abstract

[GL] A regresión modal xorde como alternativa á regresión en media para tratar de modelar relacións entre variables nos casos nos que esta poida non ser adecuada, dado que a media condicional non é sempre unha medida resumo que representa fielmente a relación entre as mesmas. Este traballo ten como obxectivo presentar a regresión modal non paramétrica. Comezamos mostrando varias simulacións e un caso real onde a regresión en media paramétrica non é adecuada, para abordar así a estimación da densidade non paramétrica. Co fin de contextualizar a metodoloxía da regresión modal, farase unha análise da estimación tipo núcleo da densidade e da densidade condicional, destacando a forma de seleccionar unha fiestra de suavizado adecuada. Para isto, introduciranse varios criterios de erro e diferentes métodos de selección. Para concluír, desenvolverase a estimación modal non paramétrica. Para introducir a regresión modal, farase unha breve alusión ao modelo linear unimodal. Posteriormente, ilustrarase o principal algoritmo para a construción do modelo non paramétrico multimodal, o 𝑚𝑒𝑎𝑛-𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡. A continuación, describiranse varias medidas de erro, as cales deben definirse para conxuntos no canto de puntos, coa idea de poder facer unha selección adecuada das fiestras. Mostraranse dous métodos de selección do ancho de banda cuxa idea xeral coincide co da estimación tipo núcleo. Finalmente, ilustrarase a regresión modal non paramétrica sobre os exemplos, simulados e real, onde a regresión en media paramétrica non era adecuada.

[EN] Modal regression appears as an alternative to mean regression in order to try to model relationships between variables in cases where mean regression may not be adequate, since the conditional mean is not always a summary measure that faithfully represents the relationship between them. The aim of this work is to introduce nonparametric modal regression. We start showing several simulations and a real case where the mean parametric regression is not adequate, to address the estimation of non-parametric density. In order to contextualize the modal regression methodology, an analysis of the kernel density estimation and kernel conditional density estimation will be made, highlighting how to select an adequate bandwidth. For this, various error criteria and different selection methods will be introduced. To conclude, non-parametric regression estimation will be developed. To introduce modal regression, a brief recall of the unimodal linear model will be made. Then, the main algorithm for the construction of the multimodal non-parametric model, the mean-shift algorithm, will be illustrated. Next, several error measures will be described, which must be defined for sets instead of points, with the idea of being able to make a proper bandwith selection. Two bandwidth selection methods will be shown whose general idea matches that of the kernel estimation approach. Finally, the non-parametric modal regression will be illustrated on the examples, simulated and real, where the mean parametric regression was not adequate.