Introducción a las bifurcaciones en las ecuaciones diferenciales ordinarias

Abstract

El estudio del comportamiento cualitativo de las ecuaciones diferenciales busca obtener propiedades de las soluciones sin necesidad de conocerlas explícitamente. Este enfoque cobra especial relevancia cuando se incorporan parámetros en la ecuación, pues pequeñas variaciones en ellos pueden suponer cambios muy significativos, influyendo en el número de puntos singulares, en su estabilidad o en la aparición de soluciones oscilatorias. Esta es la idea de la teoría de las bifurcaciones, en la que se profundizará mediante los ejemplos más típicos en una y dos dimensiones: las bifurcaciones tangenciales, transcríticas, tridentes y de Hopf. Para cada una de ellas se explorará el comportamiento cualitativo de una ecuación tipo, para continuar realizando un estudio genérico en el que se obtendrán condiciones que la caracterizan.

The study of the qualitative behaviour of differential equations seeks to obtain properties of the solutions without the need to know them explicitly. This approach acquires special relevance when parameters are incorporated into the equation, since small variations in them can lead to very significant changes, having effects on the number of singular points, their stability or the appearance of oscillatory solutions. This is the idea behind the theory of bifurcations, which will be explored in depth by means of the most typical examples in one and two dimensions: the tangent, transcritical, pitchfork and Hopf bifurcations. For each of them, the qualitative behaviour of a type equation will be explored, followed by a generic study in which the conditions that characterise it will be obtained.