Números 𝑝-ádicos

Abstract

[ES] En matemáticas, hay números de todos los tipos: enteros, racionales, reales, complejos, 𝑝-ádicos, . . . En este trabajo estudiaremos los números 𝑝-ádicos, los cuales fueron introducidos por el matemático alemán Kurt Hensel. Estos números son menos conocidos que los otros, pero tienen un papel muy importante en la teoría de números y en otras partes de las matemáticas. A parte de la definición de número 𝑝-ádico, estudiaremos diferentes valores absolutos en diversos cuerpos. Estos valores absolutos tendrán una serie de propiedades que también cumplirá el valor absoluto 𝑝-ádico. Pero el cuerpo de los números racionales 𝑄 no será completo con este valor absoluto 𝑝-ádico, por lo que tendremos que construir un cuerpo más grande que sea completo con este valor absoluto. Este nuevo cuerpo será precisamente el cuerpo de los números 𝑝-ádicos. Una vez construido y definidas un par de propiedades, veremos como trabajar con algunos elementos de este cuerpo así como con los enteros 𝑝-ádicos.

[EN] In mathematics, there are numbers of various types: integers, rationals, reals, complexes, 𝑝-adics, . . . In this project we will study the 𝑝-adic numbers, which were introduced by the German mathematician Kurt Hensel. These numbers are less known than the others, but they have a very important role in number theory and other parts of mathematics. Apart from the definition of a 𝑝-adic number, we will study different absolute values in different fields. These absolute values will have a series of properties that will also have the 𝑝-adic absolute value. However, the field of rational numbers 𝑄 will not be complete with respect to this 𝑝-adic absolute value, so we will have to build a larger field that is complete with this absolute value. This new field will precisely be the field of the 𝑝-adic numbers. Once we have constructed it and we have given some properties, we will see how to work with some elements of this field, as well as with the 𝑝-adic integers.