Álgebras de Hopf débiles. Teorema Fundamental de los Módulos de Hopf

Abstract

Las álgebras de Hopf débiles, que son una generalización de la estructura de álgebra de Hopf, fueron introducidas por Böhm, Nill y Szalachányi en la década de los 90 del siglo XX. Surgen en la literatura con el fin de ser las estructuras adecuadas para proporcionar soluciones de la Ecuación Dinámica de Yang-Baxter, de la misma manera que las álgebras de Hopf cuasitriangulares lo son para la Ecuación Cuántica. En la obtención de las soluciones de estas ecuaciones son importantes los siguientes aspectos: el Teorema Fundamental de los Módulos de Hopf y la caracterización de las proyecciones de un álgebra de Hopf mediante el Teorema de Radford-Majid-Bespalov. Así, en la memoria de este Trabajo de Fin de Máster se comienza con la descripción de la estructura de álgebra de Hopf débil en el contexto monoidal, analizando en que aspectos difiere de la de álgebra de Hopf. A continuación, se desarrolla el Teorema Fundamental de los Módulos de Hopf y el Teorema de Radford-Majid-Bespalov para álgebras de Hopf en una categoría monoidal braided con idempotentes escindidos, para concluir con las respectivas generalizaciones de los resultados anteriores para álgebras de Hopf débiles.

Weak Hopf algebras, which are a generalisation of the Hopf algebra structure, were introduced by Böhm, Nill and Szalachányi in the 1990s. They emerged from the literature in order to become suitable structures for providing solutions of the Dynamical Yang-Baxter Equation, in the same way that quasitriangular Hopf algebras are for the Quantum Equation. In the process of obtaining the solutions of these equations, the following aspects are highly important: the Fundamental Theorem of Hopf Modules and the characterisation of Hopf algebra projections by means of the Radford-Majid-Bespalov Theorem. Therefore, this Master's thesis focuses first on the description of the weak Hopf algebra structure in the monoidal context, analysing in which aspects it differs from that of Hopf algebra. Then, the Fundamental Theorem of Hopf Modules and the Radford-Majid-Bespalov Theorem are developed for Hopf algebras in a monoidal braided category with split idempotents, to conclude with the respective generalisations of the previous results for weak Hopf algebras.