Ondículas y aplicaciones

Abstract

El objetivo de este trabajo es estudiar el célebre espacio funcional de Hilbert definido por Lebesgue desde el enfoque del análisis armónico. Primero, se estudia la transformada de Fourier y se exploran sus propiedades algebraicas y analíticas. Se demuestran el teorema de inversión de Fourier, que nos permite recuperar una función de su transformada aplicando la transformada inversa, y el teorema de Plancherel, el cual viabiliza extender la transformada, inicialmente definida en otro espacio funcional, a dicho espacio de Hilbert. A continuación, se presentan y estudian dos fenómenos connaturales (e inoportunos) a las herramientas matemáticas de Fourier: el fenómeno de Gibbs y el principio de incertidumbre de Heisenberg. Para finalizar, cambiando de óptica, se introducen las ondículas para subsanar esta problemática. Esta última parte se centra en caracterizar las ondículas que producen buenas aproximaciones y en definir la transformada ondícula siguiendo la hoja de ruta que nos facilita la transformada de Fourier, además de aportar someramente algunos ejemplos y aplicaciones de la teoría de ondículas.The aim of this paper is to study the famous Hilbert functional space defined by Lebesgue from the harmonic analysis approach. First, the Fourier transform is studied and its algebraic and analytic properties are explored. The Fourier inversion theorem, which allows us to recover a function from its transform by applying the inverse transform, and Plancherel’s theorem, which makes feasible to extend the transform, initially defined in another functional space, to this Hilbert space, are demonstrated. Next, two phenomena connatural (and unwelcome) to Fourier’s mathematical tools are presented and studied: the Gibbs phenomenon and the Heisenberg uncertainty principle. Finally, changing optics, wavelets are introduced to solve this problem. This last part focuses on characterising the wavelets that produce good approximations and on defining the wavelet transform following the roadmap provided by the Fourier transform, as well as briefly providing some examples and applications of wavelet theory.