Módulos cruzados de grupos

Abstract

El concepto matemático de módulo cruzado fue introducido por J. H. C. Whitehead en 1949 con el objetivo de modelizar los espacios 2-tipo homotópicos. Los módulos cruzados existen para una gran variedad de estructuras algebraicas; en este trabajo se considerará exclusivamente la estructura de grupo. En este contexto, un módulo cruzado de grupos es un homomorfismo de grupos μ: M → N junto con una acción del grupo N sobre el grupo M por automorfismos tal que se cumplen dos condiciones fundamentales: la equivarianza de μ y la identidad de Peiffer. Los módulos cruzados poseen diversas propiedades algebraicas y son equivalentes, en sentido categórico, a estructuras como los Cat1-grupos, los 2-grupos estrictos y los grupos categóricos estrictos. Describir tales propiedades y equivalencias será el objetivo fundamental de este trabajo.

The mathematical concept of a crossed module was introduced by J. H. C. Whitehead in 1949 with the aim of modeling spaces of homotopy 2-type. Crossed modules exist for a wide variety of algebraic structures; in this work, we will consider exclusively the group structure. In this context, a crossed module of groups is a group homomorphism μ: M → N together with an action of the group N on the group M by automorphisms, such that two fundamental conditions are satisfied: the equivariance of μ and the Peiffer identity. Crossed modules have different algebraic properties and are categorically equivalent to structures such as Cat1-grupos, strict 2-groups, and strict categorical groups. Describing these properties and equivalences will be the main objective of this work.