Teorema fundamental dos módulos de Hopf

Abstract

A teoría das álxebras de Hopf nace nos anos 40 do século pasado a raíz do traballo do topólogo alemán Heinz Hopf. Debido ás súas numerosas aplicacións, principalmente no ámbito da física cuántica, o interese por esta área de estudo incrementouse notablemente nas últimas décadas. O obxectivo deste traballo é dar unha visión xeral desta teoría, coa intención de demostrar un dos seus resultados clásicos: o Teorema Fundamental dos Módulos de Hopf. En primeiro lugar, co propósito de definir o concepto de álxebra de Hopf, introduciranse as nocións de álxebra, coálxebra, biálxebra e antípoda, e estudaranse algunhas das súas propiedades básicas. Posteriormente, presentaranse as nocións de módulo sobre unha álxebra e de comódulo sobre unha coálxebra coa intención de, finalmente, establecer o concepto de módulo de Hopf e probar o xa mencionado teorema. Para concluír, ilustrarase a importancia deste resultado mediante algúns exemplos de aplicación do mesmo.

Hopf algebra theory first appeared in the 1940s through the work of the German topologist Heinz Hopf. Due to its numerous applications, mainly in the field of quantum physics, interest in this area of study has notably increased over the last few decades. The aim of this project is to provide a general overview of this theory, with the goal of proving a classic result: the Fundamental Theorem of Hopf Modules. Firstly, in order to de ne the concept of Hopf algebra, the notions of algebra, coalgebra, bialgebra and antipode are introduced, and some of their basic properties are studied. Subsequently, the notions of module over an algebra and comodule over a coalgebra are presented in order to establish the concept of Hopf module and prove the aforementioned theorem. Lastly, the importance of this result is showcased through some examples of application.