Desigualdades en Problemas de Olimpiadas

Abstract

O obxectivo principal deste traballo será presentar as diferentes desigualdades matemáticas empregadas para resolver moitos dos problemas propostos nas distintas competicións de Olimpiadas Matemáticas, desde o nivel local ou autonómico até o internacional e a relativamente nova EGMO, a nivel feminino. Ademáis, recóllese unha escolma de problemas resoltos mediante o uso de unha ou varias destas desigualdades, facendo notar a potencia que teñen para aproximar ou resolver cada problema. Deste xeito, o traballo está divido en 3 capítulos. O primeiro deles é a introducción e caracaterísticas das diferentes competicións olímpicas. No segundo pasamos a de nir e demostrar as desigualdades máis importantes e empregadas: a desigualdade triangular, a desigualdade das medias, desigualdades de reordenación entre as que atopamos Cauchy-Schwarz, Chebyshev ou Nesbitt , a desigualdade de Holder, a de Minkowski, a importante desigualdade de Jensen para funcións convexas, o teorema de Muirhead e as desigualdades de Schur e de Erdos-Mordell. Unha vez familiarizados con elas, damos unha serie de problemas de cada competición. Na última sección veñen as solucións a cada problema. Moitas veces as solucións non son únicas, ou non están todas incluídas; pero sempre se trata de resaltar a utilización das devanditas desigualdades