Sobre o problema inverso de Galois para grupos abelianos finitos

Abstract

O Problema Inverso de Galois, no seu enunciado clásico, trata de determinar para que grupos finitos G existe unha extensión de Galois sobre Q que teña grupo de Galois isomorfo a G. Neste traballo tratarase o caso particular no cal o grupo finito sexa ademais abeliano. A exposición do traballo divídese en dúas partes. Na primeira parte probarase que, no caso de grupos abelianos, sempre existe unha extensión que resolve o Problema Inverso de Galois. Na segunda parte demóstrase o Teorema de Kronecker-Weber, o cal establece que toda extensión de Galois de Q con grupo de Galois abeliano é unha extensión ciclotómica. Para os corpos ciclotómicos analizaremos a estrutura dos seus grupos de Galois sobre Q. Ademais, introduciremos a teoría de corpos de números necesaria para a proba do Teorema de Kronecker-Weber, en concreto, presentarase o anel de enteiros dun corpo de números alxébricos, a factorización de ideais primos nunha extensión de corpos de números, así coma, os grupos de descomposición e inercia.

The Inverse Galois Problem, in its classic formulation, asks whether given a finite group G there exists a Galois extension over Q whose Galois group is isomorphic to G. This work will address the special case in which the finite group is also abelian. The content of this paper is divided into two parts. In the first part we will prove that, if G is any finite abelian groups, then we can find a Galois extension of Q that solves the Inverse Galois Problem for G. In the second part we will prove the Kronecker-Weber Theorem, which states that if the Galois group of a Galois extension of Q is abelian then the extension is cyclotomic. For cyclotomic fields we study the structure of their Galois groups over Q. Moreover, we will present some concepts of the theory of algebraic number fields that are necessary to prove the Kronecker-Weber Theorem. Specifically, we will introduce the ring of integers of an algebraic number field, the prime decomposition in extensions of number rings and the decomposition and inertia groups.