La derivada de Stieltjes y sus espacios de funciones

Abstract

La idea de la derivada de Stieltjes consiste en diferenciar con respecto a una función creciente y continua por la izquierda g : R →R, sustituyendo los cocientes f (x)−f ( y)/ x−y por f (x)−f ( y) / g(x)−g( y). La existencia de un teorema fundamental del cálculo permite considerar problemas diferenciales con derivadas de Stieltjes, que unifican diversos tipos de ecuaciones diferenciales. Abordar estas cuestiones requiere estudiar generalizaciones similares de la topología usual de R y la medida de Lebesgue. Además de lo estrictamente necesario para la teoría de la derivada de Stieltjes, se expondrán otros aspectos interesantes de dichas generalizaciones y algunos resultados originales.

The idea of the Stieltjes derivative consists in differentiating with respect to a nondecreasing and left-continuous function g : R → R, swapping the quotients f (x)−f ( y) / x−y for f (x)−f ( y) / g(x)−g( y). The existence of a fundamental theorem of calculus enables the formulation of differential problems with Stieltjes derivatives, which unify several kinds of differntial equations. Studying these topics requires analysing similar generalizations of the usual topology in R and the Lebesgue measure. Besides the strictly necessary tools for the theory of Stieltjes derivatives, other interesting aspects of said generalizations will be considered, including some original results.