Teoría global de curvas

Abstract

En el siglo XIX, con la aparición de la geometría diferencial moderna, se dio un gran paso a la hora de generalizar las curvas y superficies clásicas. Esto supuso dejar atrás la belleza de la geometría clásica a un plano secundario, centrándose en un punto de vista más abstracto. El objetivo de este trabajo es presentar las variedades diferenciables y algunos de los resultados más importantes sobre ellas, entre los que destaca el Teorema de clasificación de curvas. A su vez, exponemos las curvas y superficies de R3, explicando su relación con las variedades, así como los conceptos geométricos más importantes que ayudan a su estudio, como la torsión, la curvatura, la noción de geodésica... También, a lo largo de la exposición emana la cuestión del Teorema de la curva de Jordan, así como una posible versión de este generalizada a dimensiones superiores. Se dedicará una parte del trabajo a la demostración de este teorema en R3, el cual se conoce como Teorema de Jordan–Brouwer.In the 19th century, with the emergence of modern differential geometry, a significant step was taken towards the generalization of classical curves and surfaces. This meant shifting the focus from the beauty of classical geometry to a more abstract viewpoint. The objective of this work is to introduce differentiable manifolds and some of the most important results concerning them, including the curve classification theorem. Additionally, we explore curves and surfaces in R3, explaining their relation to manifolds, as well as key geometric concepts that aid in their study, such as torsion, curvature and the notion of geodesic. Throughout this work, the question of the Jordan curve theorem arises, along with its possible generalization to higher dimensions. Consequently, part of this work is dedicated to proving this theorem in R3, which is known as the Jordan–Brouwer theorem.