Teoría de índice de punto fijo y aplicaciones a las ecuaciones diferenciales

Abstract

La teoría de índice de punto fijo es una herramienta valiosa por su utilidad en múltiples ramas de las matemáticas y por sus numerosas aplicaciones a la economía, la teoría de juegos o el análisis. En este trabajo, recogemos los principales conceptos relativos a esta teoría desde un enfoque principalmente analítico, sin olvidar su estrecha relación con la topología y la geometría diferencial. Primero daremos una definición del grado topológico o grado de Brouwer para funciones continuas en dimensión finita, lo que nos permitirá desarrollar propiedades interesantes de esta teoría, y en particular, demostrar el Teorema de punto fijo de Brouwer. Posteriormente, extenderemos estos conceptos a dimensión infinita con el Teorema de Leray-Schauder. Buscaremos dar sentido práctico a los resultados presentados, analizando algunas de sus aplicaciones en el estudio de las soluciones de ecuaciones diferenciales. Finalmente, estudiaremos una extensión del grado a operadores definidos sobre conos, y presentaremos un ejemplo concreto de aplicación: el análisis de un reactor tubular.

The fixed point index theory is a valuable tool for its usefulness in many branches of mathematics and for its numerous applications to economics, game theory or analysis. In this Bachelor’s Final Project, we collect the main concepts related to this theory from a mainly analytical approach, without forgetting its close relation with topology and differential geometry. First we will give a definition of the topological degree or Brouwer’s degree for continuous functions in finite dimensional spaces, which will allow us to develop interesting properties of this theory, and in particular, to prove Brouwer’s Fixed Point Theorem. Subsequently, we will extend these concepts to infinite dimensional spaces with the Leray-Schauder Theorem. We will seek to give practical sense to the results presented, analyzing some of their applications in the study of the solutions of differential equations. Finally, we will study an extension of the degree to operators defined on cones, and we will present a concrete example of application: the analysis of a tubular reactor.