Cálculo de los exponentes característicos de Lyapunov. Aplicación a la detección de caos

Abstract

[ES] Los sistemas dinámicos denominados caóticos se asocian con frecuencia a sistemas muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Los exponentes característicos de Lyapunov (LCE del inglés Lyapunov Characteristic Exponents) son una herramienta que permite cuantificar la velocidad a la que se separan dos órbitas con condiciones iniciales infinitamente cercanas. Por ello, con frecuencia se emplean como indicadores de la presencia de caos. El presente trabajo se centra en el estudio de los LCE con el objeto de aplicarlos a la detección de órbitas caóticas en un sistema dinámico. Se estructurará del siguiente modo: • Definición e interpretación geométrica de los LCE. • Técnicas que permiten calcular numéricamente los LCE. • Implementación de algunas de las técnicas presentadas en el apartado anterior. • Cálculo efectivo de los LCE para algunos sistemas dinámicos relevantes como el sistema de Lorenz, el sistema de Rössler o Hyperchaos. Para poder abordar el último punto se necesitarán integradores de orden elevado compatibles con paso de tiempo adaptativo.[EN] The so-called chaotic dynamic systems are often associated with systems that are very sensitive to variations in initial conditions. The Lyapunov Characteristic Exponents are a tool that allows to quantify the speed at which two orbits with infinitely close initial conditions get away from each other. Therefore, they are often used as indicators of the presence of chaos. The present work focuses on the study of the LCE in order to apply them to the detection of chaotic orbits in a dynamic system. It will be structured as follows: • Definition and geometric interpretation of the LCE. • Techniques that allow the LCE to be calculated numerically. • Implementation of some of the techniques presented in the previous section. • Effective calculation of the LCE for some dynamic systems such as the Lorenz system, Rössler or Hyperchaos system. To be able to address the last point, high order integrators compatible with adaptive time step will be needed.