Grupos e música: transformacións de acordes

Abstract

O traballo consiste en ver a relación que hai entre a teoría de grupos e a teoría musical. Comézase estudando grupos, prestando especial atención ás accións de grupos en conxuntos e ós grupos libres. Posteriormente, aplícase o estudado ó caso do grupo simétrico. Identifícase o conxunto das 12 notas musicais da escala cromática co grupo cíclico de 12 elementos. A continuación, defínese o conxunto dos acordes de tres notas maiores e menores, e danse unha serie de transformacións no mesmo. Os acordes maiores e menores xunto con estas transformacións son a base da harmonía de moitas cancións e melodías. Próbase que o conxunto de dúas destas transformacións, as inversións e transposicións, forma un grupo que actúa sobre o conxunto dos acordes. Por outra banda, vese que o conxunto formado por outras tres delas, a paralela, relativa, e intercambio de sétima, forma outro grupo que tamén actúa sobre o conxunto dos acordes. Posteriormente, próbase que ámbolos dous grupos son isomorfos, e que ademais un é o centralizador do outro, chegando finalmente a que os grupos son duais como subgrupos do grupo de transformacións do conxunto de acordes.This work studies the relationship between group theory and music theory. We start presenting groups, with special emphasis on group actions on sets and free groups. Next, we apply the previous results to the symmetric group. We identify the set of 12 musical notes form the chromatic scale with the cyclic group of order 12. We also define the set of major and minor triads and present several transformations on the set they form. Major and minor chords and these transformations make part of the harmonic base of lots of songs and melodies. We show that the set of two kinds of transformations, namely inversions and transpositions make part of a group that acts on the set of chords. On the other hand, we see that the set formed by a different set of transformations, the parallel, relative and seventh interchange constitute another group that acts also on the set of chords. Finally, we prove that both groups are isomorphic and one is the centralizer of the other, concluding that both groups are dual subgroups of the permutation group of transformations on the set of chords